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  3. 设A为n阶方阵，秩(A)＝r＜n，且满足A2＝2A，证明：A必相似于对角矩阵．

设A为n阶方阵，秩(A)＝r＜n，且满足A2＝2A，证明：A必相似于对角矩阵．

admin2017-06-26  27
问题 设A为n阶方阵，秩(A)＝r＜n，且满足A2＝2A，证明：A必相似于对角矩阵．
选项
答案由秩(A)＝r＜n，知方程组Aχ＝0的基础解系含n－r个向量：ξ1，ξ2，…，ξn-r． 因此，ξ1，ξ2，…，ξn-r就 是A的对应于特征值0的n－r个线性无关的特征向量． 设A按列分块为A＝[α1 α2 … αn]，则题设条件AA＝2A就是[Aα1 Aα2 … Aαn]＝[2α1 2α2 … 2αn]，由Aαj＝2αj，知A的列向量组的极大无关组[*]就是A的对应于特征值2的r个线性无关特征向量． 再由特征值的性质，知ξ1，…，ξn-r，[*]就是n阶方阵A的n个线性无关特征向量，所以，A必相似于对角矩阵．
解析
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考研数学三

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