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已知A=,判断A能否对角化.若能对角化,求可逆矩阵P使得P﹣1AP为对角矩阵.
已知A=,判断A能否对角化.若能对角化,求可逆矩阵P使得P﹣1AP为对角矩阵.
admin
2020-06-05
47
问题
已知A=
,判断A能否对角化.若能对角化,求可逆矩阵P使得P
﹣1
AP为对角矩阵.
选项
答案
由矩阵A的特征多项式 |A-λE|=[*] =﹣(λ-1)
2
(A+2) 得到A的特征值λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=﹣2. 当λ
1
=1时,解齐次方程组(A-E)x=0.由 A-E=[*] 得到基础解系p
1
=(﹣2,1,0)
T
,p
2
=(0,0,1)
T
,即A的属于特征值λ=1的特征向量c
1
p
1
+c
2
p
2
(c
1
,c
2
不全为零). 当λ
3
=﹣2时,解方程(﹣A-2E)x=0.由 ﹣A-2E=[*] 得到基础解系p
3
=(﹣5,1,3)
T
是属于λ
2
=﹣2的特征向量. 因为矩阵A有3个线性无关的特征向量,所以A能对角化.不妨取P=[*],则 P
﹣1
AP=[*]=diag(1,1,2).
解析
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考研数学一
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