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  3. 已知A＝，判断A能否对角化．若能对角化，求可逆矩阵P使得P﹣1AP为对角矩阵．

已知A＝，判断A能否对角化．若能对角化，求可逆矩阵P使得P﹣1AP为对角矩阵．

admin2020-06-05  30
问题 已知A＝，判断A能否对角化．若能对角化，求可逆矩阵P使得P﹣1AP为对角矩阵．
选项
答案由矩阵A的特征多项式 ｜A－λE｜＝[*] ＝﹣(λ－1)2(A+2) 得到A的特征值λ1＝λ2＝1，λ3＝﹣2． 当λ1＝1时，解齐次方程组(A－E)x＝0．由 A－E＝[*] 得到基础解系p1＝(﹣2，1，0)T，p2＝(0，0，1)T，即A的属于特征值λ＝1的特征向量c1p1＋c2p2(c1，c2不全为零)． 当λ3＝﹣2时，解方程(﹣A－2E)x＝0．由 ﹣A－2E＝[*] 得到基础解系p3＝(﹣5，1，3)T是属于λ2＝﹣2的特征向量． 因为矩阵A有3个线性无关的特征向量，所以A能对角化．不妨取P＝[*]，则 P﹣1AP＝[*]＝diag(1，1，2)．
解析
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考研数学一

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