已知A＝，判断A能否对角化．若能对角化，求可逆矩阵P使得P﹣1AP为对角矩阵．

admin2020-06-05 51

问题已知A＝

，判断A能否对角化．若能对角化，求可逆矩阵P使得P^﹣1AP为对角矩阵．

选项

答案由矩阵A的特征多项式｜A－λE｜＝[*] ＝﹣(λ－1)²(A+2) 得到A的特征值λ₁＝λ₂＝1，λ₃＝﹣2．当λ₁＝1时，解齐次方程组(A－E)x＝0．由 A－E＝[*] 得到基础解系p₁＝(﹣2，1，0)^T，p₂＝(0，0，1)^T，即A的属于特征值λ＝1的特征向量c₁p₁＋c₂p₂(c₁，c₂不全为零)．当λ₃＝﹣2时，解方程(﹣A－2E)x＝0．由 ﹣A－2E＝[*] 得到基础解系p₃＝(﹣5，1，3)^T是属于λ₂＝﹣2的特征向量．因为矩阵A有3个线性无关的特征向量，所以A能对角化．不妨取P＝[*]，则 P^﹣1AP＝[*]＝diag(1，1，2)．

解析

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考研数学一

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