[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2019-05-16 46

问题 [2013年] 设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

选项

答案因α，β为单位向量且相互正交，有 β^Tα=α^Tβ=0，[*] 故α^Tβ=1，β^Tβ=1．因而 Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α(α^Tα)+β(β^Tα)=2α‖α‖+β(β^Tα)=2α，即α为A的属于特征值λ₁=2的特征向量． Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=2α(α^Tβ)+β(β^Tβ)=2α·0+β·1=β，即β为A的属于特征值λ₂=1的特征向量．又秩（A）=秩(2αα^T+ββ^T)≤秩(2αα^T)+秩(ββ^T)≤秩α+秩β=1+1=2＜3，则A的第三个特征值为λ₂=0．故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

解析

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考研数学一

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[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

考研数学一

直线L：绕z轴旋转一周的旋转曲面方程为_______．

向量空间w={(x，2y，0)T∈R3｜x，3，∈R)的维数为________．

函数则an____，bn_，和函数S(x)______

设f(x，y)满足=2，f(x，0)=1，fy’(x，0)=x，则f(x，y)=________·

设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=e4πt2+，则f(t)_________．

已知一2是A＝的特征值，则x＝______．

设f(x)=πx+x2，一π≤x＜π，且周期为T=2π．当f(x)在[一π，π)上的傅里叶级数为则b3=__________．

微分方程y’+ytanx=cosx的通解为_________．

二次型f(x1，x2，x3)=(x1+2x2+a3x3)(x1+5x2+b3x3)的合同规范形为______。

微分方程满足y(1)=0的特解是()

建设中国特色社会主义文化的根本任务是()

合同管理的主要内容有()。

水运工程项目实施，应当在()划分单位工程、分部和分项工程。

你对我国司法行政体制改革有什么想法?

对于结果加重犯，应当按照()。

这个国家在2007年控制非法药物进入的计划失败了。尽管对非法药物的需求呈下降趋势，但是，如果这个计划没有失败，多数非法药物在2007年的批发价格不会急剧下降。以下哪项是上述论证的一个假设?

Whohasn’twantedtomasternotjusttwolanguagesbut10?TakeGiuseppeMezzofanti,a19th-centurypriestwhowassaidtobe【C1

Theboyisintelligent.

Ithinkit’snouse(read)______withoutunderstanding.

[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

考研数学一

直线L：绕z轴旋转一周的旋转曲面方程为_______．

向量空间w={(x，2y，0)T∈R3｜x，3，∈R)的维数为________．

函数则an________，bn_______，和函数S(x)________

设f(x，y)满足=2，f(x，0)=1，fy’(x，0)=x，则f(x，y)=________·

设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=e4πt2+，则f(t)_________．

已知一2是A＝的特征值，则x＝______．

设f(x)=πx+x2，一π≤x＜π，且周期为T=2π．当f(x)在[一π，π)上的傅里叶级数为则b3=__________．

微分方程y’+ytanx=cosx的通解为_________．

二次型f(x1，x2，x3)=(x1+2x2+a3x3)(x1+5x2+b3x3)的合同规范形为______。

微分方程满足y(1)=0的特解是()

建设中国特色社会主义文化的根本任务是()

合同管理的主要内容有()。

水运工程项目实施，应当在()划分单位工程、分部和分项工程。

你对我国司法行政体制改革有什么想法?

对于结果加重犯，应当按照()。

这个国家在2007年控制非法药物进入的计划失败了。尽管对非法药物的需求呈下降趋势，但是，如果这个计划没有失败，多数非法药物在2007年的批发价格不会急剧下降。以下哪项是上述论证的一个假设?

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[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

函数则an____，bn_，和函数S(x)______