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[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
admin
2019-05-16
62
问题
[2013年] 设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
，记
若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
．
选项
答案
因α，β为单位向量且相互正交，有 β
T
α=α
T
β=0，[*] 故α
T
β=1，β
T
β=1．因而 Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α(α
T
α)+β(β
T
α)=2α‖α‖+β(β
T
α)=2α， 即α为A的属于特征值λ
1
=2的特征向量． Aβ=(2αα
T
+ββ
T
)β=2α(α
T
β)+β(β
T
β)=2α·0+β·1=β， 即β为A的属于特征值λ
2
=1的特征向量． 又秩（A）=秩(2αα
T
+ββ
T
)≤秩(2αα
T
)+秩(ββ
T
)≤秩α+秩β=1+1=2＜3，则A的第三个特征值为λ
2
=0． 故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/06c4777K
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考研数学一
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