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  3. [2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2019-05-16  57
问题 [2013年]  设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
选项
答案因α，β为单位向量且相互正交，有 βTα=αTβ=0，[*] 故αTβ=1，βTβ=1．因而 Aα=(2ααT+ββT)α=2α(αTα)+β(βTα)=2α‖α‖+β(βTα)=2α， 即α为A的属于特征值λ1=2的特征向量． Aβ=(2ααT+ββT)β=2α(αTβ)+β(βTβ)=2α·0+β·1=β， 即β为A的属于特征值λ2=1的特征向量． 又秩（A）=秩(2ααT+ββT)≤秩(2ααT)+秩(ββT)≤秩α+秩β=1+1=2＜3，则A的第三个特征值为λ2=0． 故f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
解析
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考研数学一

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