[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2019-05-16 82

问题 [2013年] 设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

选项

答案因α，β为单位向量且相互正交，有 β^Tα=α^Tβ=0，[*] 故α^Tβ=1，β^Tβ=1．因而 Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α(α^Tα)+β(β^Tα)=2α‖α‖+β(β^Tα)=2α，即α为A的属于特征值λ₁=2的特征向量． Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=2α(α^Tβ)+β(β^Tβ)=2α·0+β·1=β，即β为A的属于特征值λ₂=1的特征向量．又秩（A）=秩(2αα^T+ββ^T)≤秩(2αα^T)+秩(ββ^T)≤秩α+秩β=1+1=2＜3，则A的第三个特征值为λ₂=0．故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

解析

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考研数学一

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[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

考研数学一

设P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=，则A，B，C都不发生的概率为________．

一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0．10，0．20，0．30，设备部件状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，则X的方差DX为___________．

与α1＝(1，一1，0，2)T，α2＝(2，3，1，1)T，α3＝(0，0，1，2)T都正交的单位向量是______．

设f(u)为连续函数，D是由y=1，x2=y2=1及y=0所围成的平面闭域，则=_________。

设函数y=y(x)由确定，则y=y(x)在x=ln2处的法线方程为_______．

设X1，…，X10。是来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记求Z＝分布，并求P{Z>0}；

回答下列问题设a1＝(a1，a2，a3，a4)，a2＝(a2，一a1，a4，一a3)，a3＝(a3，一a4，一a1，a2)，其中ai(i＝1，2，3，4)不全为零．证明a1，a2，a3线性无关；

设总体X的概率密度f(x)＝(一∞＜x＜＋∞)，其中μ为未知参数．若总体X有以下样本值：1000，1100，l200，求μ的矩估计值；

设总体X的概率密度f(x)＝其中θ＞0，μ，θ为未知参数，X1，X2，…，Xn为取自X的简单随机样本．求μ，θ的最大似然估计量．

将3个球随机地放入四个盒子中，以随机变量X表示有球的盒子数，求E(X)，D(X)。

有机磷杀虫剂对胆碱酯酶的抑制作用属于：

"Hightech"and"stateoftheart"aretwoexpressionsthatdescribethemodemtechnology.Hightechisjustashorterwayofsa

A．I型变态反应B．Ⅱ型变态反应C．Ⅲ型变态反应D．Ⅳ型变态反应免疫复合物性肾小球肾炎属于

关于腹部闭合性损伤的叙述，不恰当的是

根据十二经脉气血流注次序，足少阳经上接的是

侵权行为的对象包括()。

凡应实行项目法人责任制的新上项目，在()被批准后，应及时组建项目法人筹备组具体负责项目法人的筹建工作。

设有下面程序代码：PrivateSubCommand1_Click()DimstrAsString，chAsStringstr=”VisualBasicProgramming”：ch=”a”n=fu

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与α1＝(1，一1，0，2)T，α2＝(2，3，1，1)T，α3＝(0，0，1，2)T都正交的单位向量是______．

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设函数y=y(x)由确定，则y=y(x)在x=ln2处的法线方程为_______．

设X1，…，X10。是来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记求Z＝分布，并求P{Z>0}；

回答下列问题设a1＝(a1，a2，a3，a4)，a2＝(a2，一a1，a4，一a3)，a3＝(a3，一a4，一a1，a2)，其中ai(i＝1，2，3，4)不全为零．证明a1，a2，a3线性无关；

设总体X的概率密度f(x)＝(一∞＜x＜＋∞)，其中μ为未知参数．若总体X有以下样本值：1000，1100，l200，求μ的矩估计值；

设总体X的概率密度f(x)＝其中θ＞0，μ，θ为未知参数，X1，X2，…，Xn为取自X的简单随机样本．求μ，θ的最大似然估计量．

将3个球随机地放入四个盒子中，以随机变量X表示有球的盒子数，求E(X)，D(X)。

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[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

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