[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2019-05-16 78

问题 [2013年] 设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

选项

答案因α，β为单位向量且相互正交，有 β^Tα=α^Tβ=0，[*] 故α^Tβ=1，β^Tβ=1．因而 Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α(α^Tα)+β(β^Tα)=2α‖α‖+β(β^Tα)=2α，即α为A的属于特征值λ₁=2的特征向量． Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=2α(α^Tβ)+β(β^Tβ)=2α·0+β·1=β，即β为A的属于特征值λ₂=1的特征向量．又秩（A）=秩(2αα^T+ββ^T)≤秩(2αα^T)+秩(ββ^T)≤秩α+秩β=1+1=2＜3，则A的第三个特征值为λ₂=0．故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

解析

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考研数学一

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[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

考研数学一

设一批产品中一、二、三等品各占60％，30％，10％，现从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为_______．

设f(x，y)有连续偏导数，满足f(1，2)=1，f’x(1，2)=2，f’y(1，2)=3，Ф(x)=f(x，2f(x，2f(x，2x)))，则Ф’(1)=_______．

已知n阶矩阵A＝，则r(A2－A)＝_______．

已知A=有三个线性无关的特征向量，则a=___________．

A是3阶矩阵，且A－E，A－2E，2A+E均不可逆，则｜A｜=___________．

设x>0，证明：,且仅在x＝1处等号成立．

设an＝，n＝1，2，…，求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域．

(21)设向量组(i)α1＝(2，4，一2)T，α2＝(一l，a一3，1)T，a3＝(2，8，b—1)T；(ii)β1一(2，b＋5，一2)T，β2＝(3，7，a一4)T，β3＝(1，2b十4，一1)i．记A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3

已知P－1AP＝，α1是A的属于λ1＝1的特征向量，α2，α3是A的属于λ2＝－1的线性无关的特征向量，则矩阵P是

若级数都发散，则

腹部不适，无力，消瘦，发热伴贫血，粪便带脓血或粘液腹痛，腹胀，便秘或腹泻，不完全性低位肠梗阻

关于冠状动脉CTA相关准备，错误的是

对某社区进行原发性高血压健康促进规划的结局评价是评估目标人群

根据《水利水电建设工程蓄水安全鉴定暂行办法》(水建管[1999]177号)，蓄水安全鉴定的重点是()。

项目融资的特点有(　　)。

对于确实无法支付的应付账款，下列说法错误的是()。

行业经营出现恶化的预警指标主要有()。

按农村集体经济统计报表制度的要求，农民家庭经营收入支出资料采用()调查方法取得。

(1996年)计算

[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

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设一批产品中一、二、三等品各占60％，30％，10％，现从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为_______．

设f(x，y)有连续偏导数，满足f(1，2)=1，f’x(1，2)=2，f’y(1，2)=3，Ф(x)=f(x，2f(x，2f(x，2x)))，则Ф’(1)=_______．

已知n阶矩阵A＝，则r(A2－A)＝_______．

已知A=有三个线性无关的特征向量，则a=___________．

A是3阶矩阵，且A－E，A－2E，2A+E均不可逆，则｜A｜=___________．

设x>0，证明：,且仅在x＝1处等号成立．

设an＝，n＝1，2，…，求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域．

(21)设向量组(i)α1＝(2，4，一2)T，α2＝(一l，a一3，1)T，a3＝(2，8，b—1)T；(ii)β1一(2，b＋5，一2)T，β2＝(3，7，a一4)T，β3＝(1，2b十4，一1)i．记A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3

已知P－1AP＝，α1是A的属于λ1＝1的特征向量，α2，α3是A的属于λ2＝－1的线性无关的特征向量，则矩阵P是

若级数都发散，则

腹部不适，无力，消瘦，发热伴贫血，粪便带脓血或粘液腹痛，腹胀，便秘或腹泻，不完全性低位肠梗阻

关于冠状动脉CTA相关准备，错误的是

对某社区进行原发性高血压健康促进规划的结局评价是评估目标人群

根据《水利水电建设工程蓄水安全鉴定暂行办法》(水建管[1999]177号)，蓄水安全鉴定的重点是()。

项目融资的特点有( )。

对于确实无法支付的应付账款，下列说法错误的是()。

行业经营出现恶化的预警指标主要有()。

按农村集体经济统计报表制度的要求，农民家庭经营收入支出资料采用()调查方法取得。

(1996年)计算

[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

项目融资的特点有(　　)。