在Q(x，y，z)=λ(x2+y2+z2)+2xy+2xz一2yz中，问： (1)λ取什么值时，Q为正定的? (2)λ取什么值时，Q为负定的? (3)当λ=2和λ=—1时，Q为什么类型?

admin2017-08-16 54

问题在Q(x，y，z)=λ(x²+y²+z²)+2xy+2xz一2yz中，问：
  (1)λ取什么值时，Q为正定的?
  (2)λ取什么值时，Q为负定的?
  (3)当λ=2和λ=—1时，Q为什么类型?

选项

答案(1)用Q正定→它的矩阵的各阶顺序主子式皆为正数．因 [*] 故D₁=λ，D₂=λ²一1，D₃=(λ一2)(λ+1)² 所以要Q正定．必须λ＞0，λ²＞1，λ＞2，故λ＞2为答案． (2)Q负定→D₁＜0，D₂＞0，D₃＜0，即 λ＜0，λ²＞1，λ＜2→λ＜一1 所以λ＜一1时，Q负定． (3)当λ=2时，A的所有主子式均为正数或0，所以Q是半正定的(因a₁₁=a₂₂=a₃₃=2＞0，detA=0，二阶主子式有3个值均为3)．或用配方法Q=2[x+[*](y—z)²，所以Q半正定．当λ=一1时，Q=一(x—y—z)²，故Q半负定．

解析

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在Q(x，y，z)=λ(x2+y2+z2)+2xy+2xz一2yz中，问： (1)λ取什么值时，Q为正定的? (2)λ取什么值时，Q为负定的? (3)当λ=2和λ=—1时，Q为什么类型?

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