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在Q(x,y,z)=λ(x2+y2+z2)+2xy+2xz一2yz中,问: (1)λ取什么值时,Q为正定的? (2)λ取什么值时,Q为负定的? (3)当λ=2和λ=—1时,Q为什么类型?
在Q(x,y,z)=λ(x2+y2+z2)+2xy+2xz一2yz中,问: (1)λ取什么值时,Q为正定的? (2)λ取什么值时,Q为负定的? (3)当λ=2和λ=—1时,Q为什么类型?
admin
2017-08-16
50
问题
在Q(x,y,z)=λ(x
2
+y
2
+z
2
)+2xy+2xz一2yz中,问:
(1)λ取什么值时,Q为正定的?
(2)λ取什么值时,Q为负定的?
(3)当λ=2和λ=—1时,Q为什么类型?
选项
答案
(1)用Q正定→它的矩阵的各阶顺序主子式皆为正数. 因 [*] 故D
1
=λ,D
2
=λ
2
一1,D
3
=(λ一2)(λ+1)
2
所以要Q正定.必须λ>0,λ
2
>1,λ>2,故λ>2为答案. (2)Q负定→D
1
<0,D
2
>0,D
3
<0,即 λ<0,λ
2
>1,λ<2→λ<一1 所以λ<一1时,Q负定. (3)当λ=2时,A的所有主子式均为正数或0,所以Q是半正定的(因a
11
=a
22
=a
33
=2>0,detA=0,二阶主子式有3个值均为3).或用配方法Q=2[x+[*](y—z)
2
, 所以Q半正定. 当λ=一1时,Q=一(x—y—z)
2
,故Q半负定.
解析
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线性代数(经管类)题库公共课分类
0
线性代数(经管类)
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