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证明: (1)若f在[a,b]上可导,且f’(x)≥m,则f(b)≥f(a)+m(b-a); (2)若f在[a,b]上可导,且|f’(x)|≤M,则|f(b)-f(a)|≤M(b-a); (3)对任意实数x1,x2都有|sinx1-
证明: (1)若f在[a,b]上可导,且f’(x)≥m,则f(b)≥f(a)+m(b-a); (2)若f在[a,b]上可导,且|f’(x)|≤M,则|f(b)-f(a)|≤M(b-a); (3)对任意实数x1,x2都有|sinx1-
admin
2022-11-23
14
问题
证明:
(1)若f在[a,b]上可导,且f’(x)≥m,则f(b)≥f(a)+m(b-a);
(2)若f在[a,b]上可导,且|f’(x)|≤M,则|f(b)-f(a)|≤M(b-a);
(3)对任意实数x
1
,x
2
都有|sinx
1
-sinx
2
|=|x
1
-x
2
|.
选项
答案
(1)∵f(x)在[a,b]上满足拉格朗日定理的条件,∴至少存在一点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=[*],又f’(x)≥m.于是[*]≥m,即f(b)≥f(a)+m(b-a). (2)∵f(x)在[a,b]上满足拉格朗日定理的条件,∴至少存在一点ξ∈(a,b),使f’(ξ)=[*],又因为|f’(x)|≤M,于是|[*]|≤M,即|f(b)-f(a)|≤M(b-a). (3)当x
1
=x
2
时,结论显然成立;当x
1
≠x
2
时,不妨设x
1
<x
2
,令f(x)=sinx,则f’(x)=cosx,从而|f’(x)|≤1,由(2)的结论知,|sinx
1
-sinx
2
|≤|x
1
-x
2
|.
解析
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考研数学一
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