2. 考研
  3. 以下三个命题， ①若数列{un)收敛A，则其任意子数列必定收敛于A； ②若单调数列{xn}的某一子数列收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列{x2n}与{xn+}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A正确的个数为 ( )

以下三个命题， ①若数列{un)收敛A，则其任意子数列必定收敛于A； ②若单调数列{xn}的某一子数列收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列{x2n}与{xn+}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A正确的个数为 ( )

admin2019-02-01  50
问题 以下三个命题，
  ①若数列{un)收敛A，则其任意子数列必定收敛于A；
  ②若单调数列{xn}的某一子数列收敛于A，则该数列必定收敛于A；
  ③若数列{x2n}与{xn+}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A正确的个数为    (  )
选项 A、0
B、1
C、2
D、3
答案D
解析 对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{un}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有|u0一A|＜ε．则当ni＞N时，恒有    |uni一A|＜ε．因此数列{uni}也收敛于A，可知命题正确．
    对于命题②，不妨设数列{xn}为单调增加的，即    x1≤x2≤…≤xn≤…，其中某一给定子数列收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当ni＞N时，恒有   
    由于数列{xn}为单调增加的数列，对于任意的n＞N，必定存在ni≤n≤ni+1，有   
从而      |xn一A|＜ε．
可知数列{xn}收敛于A因此命题正确．
对于命题③，由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在
自然数N1，N2：
当2n＞N1时，恒有|x2n一A|＜ε；
当2n+1＞N2时，恒有|x2n+1一A|＜ε．
取N=max{N1，N2}，则当n＞N时，总有|xn一A|＜ε．因此可知命题正确．故答案选择(D)．
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考研数学二

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