[2015年] (I)设函数u(x)，v(x)可导，利用导数定义证明[u(x)v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)； (Ⅱ)设函数u1(x)，u2(x)，…，un(x)可导，f(x)=u1(x)u2(x)…un(x)，写出f(x)的求导公式

admin2019-04-08 45

问题 [2015年] (I)设函数u(x)，v(x)可导，利用导数定义证明[u(x)v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)；
(Ⅱ)设函数u₁(x)，u₂(x)，…，u_n(x)可导，f(x)=u₁(x)u₂(x)…u_n(x)，写出f(x)的求导公式．

选项

答案(I)令f(x)=u(x)v(x)，由 △f=f(x+△x)-f(x)=u(x+△x)v(x+△x)一u(x)v(x) =u(x+△x)v(x+△x)一u(x)v(x+△)+u(x)v(x+△)一u(x)v(x) =v(x+△)[u(x+△)一u(x)]+u(x)[v(x+△)-v(x)] =v(x+△)△u+u(x)△v，得到 [*] (Ⅱ)由上题中f(x)的导数公式的形式易得到 f’(x)=[u₁(x)u₂(x)…u_n(x)]’一{[u₁(x)]u₂(x)…u_n(x)}’ =[u₁(x)]’[u₂(x)…u_n(x)]+u₁(x)[u₂(x)…u_n(x)]’ =u’₁(x)u₂(x)…u_n(x)+u₁(x){[u₂(x)]u₃(x)…u_n(x)}’ =u’₁(x)u₂(x)…u_n(x)+u₁(x)u’₂(x)…u_n(x)+u₁(x)u₂(x)[u₃(x)…u_n(x)]’ =… =u’₁(x)u₂(x)…u_n(x)+u₁(x)u’₂(x)…u_n(x)+…+u₁(x)u₂(x)…u’_n(x)．

解析

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考研数学一

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[2015年] (I)设函数u(x)，v(x)可导，利用导数定义证明[u(x)v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)； (Ⅱ)设函数u1(x)，u2(x)，…，un(x)可导，f(x)=u1(x)u2(x)…un(x)，写出f(x)的求导公式

考研数学一

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