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[2015年] (I)设函数u(x),v(x)可导,利用导数定义证明[u(x)v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x); (Ⅱ)设函数u1(x),u2(x),…,un(x)可导,f(x)=u1(x)u2(x)…un(x),写出f(x)的求导公式
[2015年] (I)设函数u(x),v(x)可导,利用导数定义证明[u(x)v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x); (Ⅱ)设函数u1(x),u2(x),…,un(x)可导,f(x)=u1(x)u2(x)…un(x),写出f(x)的求导公式
admin
2019-04-08
20
问题
[2015年] (I)设函数u(x),v(x)可导,利用导数定义证明[u(x)v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x);
(Ⅱ)设函数u
1
(x),u
2
(x),…,u
n
(x)可导,f(x)=u
1
(x)u
2
(x)…u
n
(x),写出f(x)的求导公式.
选项
答案
(I)令f(x)=u(x)v(x),由 △f=f(x+△x)-f(x)=u(x+△x)v(x+△x)一u(x)v(x) =u(x+△x)v(x+△x)一u(x)v(x+△)+u(x)v(x+△)一u(x)v(x) =v(x+△)[u(x+△)一u(x)]+u(x)[v(x+△)-v(x)] =v(x+△)△u+u(x)△v, 得到 [*] (Ⅱ)由上题中f(x)的导数公式的形式易得到 f’(x)=[u
1
(x)u
2
(x)…u
n
(x)]’一{[u
1
(x)]u
2
(x)…u
n
(x)}’ =[u
1
(x)]’[u
2
(x)…u
n
(x)]+u
1
(x)[u
2
(x)…u
n
(x)]’ =u’
1
(x)u
2
(x)…u
n
(x)+u
1
(x){[u
2
(x)]u
3
(x)…u
n
(x)}’ =u’
1
(x)u
2
(x)…u
n
(x)+u
1
(x)u’
2
(x)…u
n
(x)+u
1
(x)u
2
(x)[u
3
(x)…u
n
(x)]’ =… =u’
1
(x)u
2
(x)…u
n
(x)+u
1
(x)u’
2
(x)…u
n
(x)+…+u
1
(x)u
2
(x)…u’
n
(x).
解析
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考研数学一
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