设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中B=．求正交变换X=QY将二次型化为标准形；

admin2018-05-23 59

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中B=

．
求正交变换X=QY将二次型化为标准形；

选项

答案由AB+B=O得(E+A)B=O，从而r(E+A)+r(B)≤3，因为r(B)=2，所以r(E+A)≤1，从而λ=一1为A的特征值且不低于2重，显然λ=一1不可能为三重特征值，则A的特征值为λ₁=λ₂=一1，λ₃=5．由(E+A)B=O得B的列组为(E+A)X=O的解，故[*]为λ₁=λ₂=一1对应的线性无关解．令α₃=[*]为λ₃=5对应的特征向量， [*] 令Q=(γ₁，γ₂，γ₃)，则f=X^TAX[*]一y₁²一y₂²+5y₃²．

解析

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