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设曲线积分上∫Ly2f′(χ)dχ+2y[f′(χ)-χ]dy与路径无关,其中f(χ)具有二阶连续的导数,且f(0)=1,f′(0)=0。求f(χ),并计算曲线积分∫(0,0)(1,1)y2f′(χ)dχ+2y[f′(χ)-χ]dy。
设曲线积分上∫Ly2f′(χ)dχ+2y[f′(χ)-χ]dy与路径无关,其中f(χ)具有二阶连续的导数,且f(0)=1,f′(0)=0。求f(χ),并计算曲线积分∫(0,0)(1,1)y2f′(χ)dχ+2y[f′(χ)-χ]dy。
admin
2017-11-30
48
问题
设曲线积分上∫
L
y
2
f′(χ)dχ+2y[f′(χ)-χ]dy与路径无关,其中f(χ)具有二阶连续的导数,且f(0)=1,f′(0)=0。求f(χ),并计算曲线积分∫
(0,0)
(1,1)
y
2
f′(χ)dχ+2y[f′(χ)-χ]dy。
选项
答案
令P(χ,y)=y
2
f′(χ),Q(χ,y)=2y[f′(χ)-χ], 已知该积分与路径无关,则有[*],即 2y[f〞(χ)-1]=2yf′(χ), 化简为f〞(χ)-f′(χ)=1,该方程为可分离变量方程,即[*]=dx两边同时积 分可得, f′(χ)=Ce
χ
-1, 代入初始条件f′(0)=0可得C=1,故f′(χ)=e
χ
-1,两边同时积分可得 f(χ)=e
χ
-χ+C
1
, 将初始条件f(0)=1代入,可得C
1
=0,故f(χ)=e
χ
-χ。 ∫
(0,0)
(1,1)
yf′(χ)dχ+2y[f(χ)-χ]dy与路径无关,则可选取折线路径简化计算, 其中L
1
:y=0,χ:0→1,L
2
:χ=1,y:0→1, ∫
(0,0)
(1,1)
y
2
f′(χ)dχ+2y[f′(χ)-χ]dy=∫
(0,0)
(1,1)
y
2
(e
χ
-1)dχ+2y(e
χ
-1-χ)dy =[*]y
2
(e
χ
-1)dχ+2y(e
χ
-1-χ)dy+[*]y
2
(e
χ
-1)dχ+2y(e
χ
-1-χ)dy =∫
0
1
2(e-2)ydy=e-2。
解析
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