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设 (I)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3； (Ⅱ)对(I)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
设 (I)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3； (Ⅱ)对(I)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
admin
2016-04-11
41
问题
设
(I)求满足Aξ
2
=ξ
1
，A
2
ξ
3
=ξ
1
的所有向量ξ
2
，ξ
3
；
(Ⅱ)对(I)中的任意向量ξ
2
，ξ
3
，证明ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关．
选项
答案
(I)设ξ
2
=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
，解方程组Aξ
2
=ξ
1
，由 [*] 得x
1
=一x
2
，x
3
=1—2x
2
(x
2
任意)．令自由未知量x
2
=一c
1
，则得 [*] 设ξ
3
=(y
1
，y
2
，y
3
)
T
，解方程组A
2
ξ
3
=ξ
1
，由 [*] 得y
1
=一[*]一y
2
(y
2
，y
3
任意)．令自由未知量y
2
=c
2
，y
3
=c
3
，则得 [*] 其中c
3
，c
3
为任意常数． (Ⅲ)3个3维向量ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关的充要条件是3阶行列式D=｜ξ
1
ξ
2
ξ
3
｜≠0．而 [*] 所以ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关．
解析
本题综合考查线性方程组的求解、方阵的幂和行列式的基本运算，以及n个n雏向量线性相关性的判别方法．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/lyw4777K
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考研数学一
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