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(Ⅰ)已知f(x)=,在(一∞,+∞)存在原函数,求常数A以及f(x)的原函数; (Ⅱ)设|y|<1,求F(y)=∫—11|x一y| exdx.
(Ⅰ)已知f(x)=,在(一∞,+∞)存在原函数,求常数A以及f(x)的原函数; (Ⅱ)设|y|<1,求F(y)=∫—11|x一y| exdx.
admin
2017-10-23
65
问题
(Ⅰ)已知f(x)=
,在(一∞,+∞)存在原函数,求常数A以及f(x)的原函数;
(Ⅱ)设|y|<1,求F(y)=∫
—1
1
|x一y| e
x
dx.
选项
答案
(Ⅰ)易求得 [*] 仅当A=0时f(x)在x=0连续.于是f(x)在(一∞,+∞)连续,从而存在原函数.当A≠0时,x=0是f(x)的第一类间断点,从而f(x)在(一∞,+∞)不存在原函数.因此求得A=0.下求f(x)的原函数. 被积函数是分段定义的连续函数,它存在原函数,也是分段定义的.由于原函数必是连续的,我们先分段求出原函数,然后把它们连续地粘合在一起,就构成一个整体的原函数. 当x<0时, [*] 取C
1
=0,随之取C
2
=1,于是当x→0
—
时与x→0
+
时f(x)dx的极限同为1,这样就得到f(x)的一个原函数 [*] 因此 ∫f(x)dx=F(x)+C,其中C为任意常数. (Ⅱ)把被积函数改写成分段函数的形式,即 |x—y|ex=[*] 从而 F(y)=∫
—1
1
|x—y|e
x
dx=∫
—1
y
(y—x)e
x
dx+∫
y
1
(x—y)e
x
dx. 分别计算上式右端的两个积分即得 ∫
—1
y
(y一x)e
x
dx=∫
—1
y
(y一x)d(e
x
)=(y一x)e
x
|
x=—1
x=y
一∫
—1
y
e
x
d(y—x) =一(y+1)e
—1
+∫
—1
y
e
x
dx=e
y
一[*](y+2), ∫
y
1
(x—y)e
x
dx=∫
y
1
(x一y)d(e
x
)=(x—y)e
x
|
x=y
x=1
一∫
y
1
e
x
d(x一y) =e(1一y)一∫
y
1
e
x
dx=e(1一y)一e+e
y
=e
y
—ey. 把以上结果代入知 F(y)=2e
y
一[*](y+2)一ey.
解析
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考研数学三
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