2. 考研
  3. (Ⅰ)已知f(x)=，在(一∞，+∞)存在原函数，求常数A以及f(x)的原函数； (Ⅱ)设｜y｜＜1，求F(y)=∫—11｜x一y｜ exdx．

(Ⅰ)已知f(x)=，在(一∞，+∞)存在原函数，求常数A以及f(x)的原函数； (Ⅱ)设｜y｜＜1，求F(y)=∫—11｜x一y｜ exdx．

admin2017-10-23  86
问题 (Ⅰ)已知f(x)=，在(一∞，+∞)存在原函数，求常数A以及f(x)的原函数；
(Ⅱ)设｜y｜＜1，求F(y)=∫—11｜x一y｜ exdx．
选项
答案(Ⅰ)易求得 [*] 仅当A=0时f(x)在x=0连续．于是f(x)在(一∞，+∞)连续，从而存在原函数．当A≠0时，x=0是f(x)的第一类间断点，从而f(x)在(一∞，+∞)不存在原函数．因此求得A=0．下求f(x)的原函数． 被积函数是分段定义的连续函数，它存在原函数，也是分段定义的．由于原函数必是连续的，我们先分段求出原函数，然后把它们连续地粘合在一起，就构成一个整体的原函数． 当x＜0时， [*] 取C1=0，随之取C2=1，于是当x→0—时与x→0+时f(x)dx的极限同为1，这样就得到f(x)的一个原函数 [*] 因此 ∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为任意常数． (Ⅱ)把被积函数改写成分段函数的形式，即 ｜x—y｜ex=[*] 从而 F(y)=∫—11｜x—y｜exdx=∫—1y(y—x)exdx+∫y1(x—y)exdx． 分别计算上式右端的两个积分即得 ∫—1y(y一x)exdx=∫—1y(y一x)d(ex)=(y一x)ex｜x=—1x=y一∫—1yexd(y—x) =一(y+1)e—1+∫—1yexdx=ey一[*](y+2)， ∫y1(x—y)exdx=∫y1(x一y)d(ex)=(x—y)ex｜x=yx=1一∫y1exd(x一y) =e(1一y)一∫y1exdx=e(1一y)一e+ey=ey—ey． 把以上结果代入知 F(y)=2ey一[*](y+2)一ey．
解析
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考研数学三

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