(Ⅰ)已知f(x)=，在(一∞，+∞)存在原函数，求常数A以及f(x)的原函数； (Ⅱ)设｜y｜＜1，求F(y)=∫—11｜x一y｜ exdx．

admin2017-10-23 44

问题 (Ⅰ)已知f(x)=

，在(一∞，+∞)存在原函数，求常数A以及f(x)的原函数；
(Ⅱ)设｜y｜＜1，求F(y)=∫_—1¹｜x一y｜ e^xdx．

选项

答案(Ⅰ)易求得 [*] 仅当A=0时f(x)在x=0连续．于是f(x)在(一∞，+∞)连续，从而存在原函数．当A≠0时，x=0是f(x)的第一类间断点，从而f(x)在(一∞，+∞)不存在原函数．因此求得A=0．下求f(x)的原函数．被积函数是分段定义的连续函数，它存在原函数，也是分段定义的．由于原函数必是连续的，我们先分段求出原函数，然后把它们连续地粘合在一起，就构成一个整体的原函数．当x＜0时， [*] 取C₁=0，随之取C₂=1，于是当x→0^—时与x→0⁺时f(x)dx的极限同为1，这样就得到f(x)的一个原函数 [*] 因此 ∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为任意常数． (Ⅱ)把被积函数改写成分段函数的形式，即｜x—y｜ex=[*] 从而 F(y)=∫_—1¹｜x—y｜e^xdx=∫_—1^y(y—x)e^xdx+∫_y¹(x—y)e^xdx．分别计算上式右端的两个积分即得 ∫_—1^y(y一x)e^xdx=∫_—1^y(y一x)d(e^x)=(y一x)e^x｜_x=—1^x=y一∫_—1^ye^xd(y—x) =一(y+1)e^—1+∫_—1^ye^xdx=e^y一[*](y+2)， ∫_y¹(x—y)e^xdx=∫_y¹(x一y)d(e^x)=(x—y)e^x｜_x=y^x=1一∫_y¹e^xd(x一y) =e(1一y)一∫_y¹e^xdx=e(1一y)一e+e^y=e^y—ey．把以上结果代入知 F(y)=2e^y一[*](y+2)一ey．

解析

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考研数学三

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