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设f(x)在(-∞,+∞)内可导,且f(0)≤0, 证明:存在ξ1∈(-∞,0),ξ2∈(0,+∞),使得f(ξ1)=f(ξ2)=2020
设f(x)在(-∞,+∞)内可导,且f(0)≤0, 证明:存在ξ1∈(-∞,0),ξ2∈(0,+∞),使得f(ξ1)=f(ξ2)=2020
admin
2021-12-14
30
问题
设f(x)在(-∞,+∞)内可导,且f(0)≤0,
证明:存在ξ
1
∈(-∞,0),ξ
2
∈(0,+∞),使得f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=2020
选项
答案
由[*],知存在M>0,当X≥M时,f(X)>2020,f(-X)>2020,令F(x)=f(x)-2020,则F(x)在[-X,X]上连续,且F(-X)=f(-X)-2020>0,F(X)=f(X)-2020>0,F(0)=f(0)-2020<0,所以F(-X)F(0)<0,F(X)F(0)>0,由零点定理,存在ξ
1
∈(-∞,0),ξ
2
∈(0,+∞),使得F(ξ
1
)=F(ξ
2
)=0,即f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=2020。
解析
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考研数学二
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