2. 考研
  3. 设A为四阶实对称矩阵，且A2+2A一3E=O，若r(A—E)=1，则二次型xTAx在正交变换下的标准形为( )

设A为四阶实对称矩阵，且A2+2A一3E=O，若r(A—E)=1，则二次型xTAx在正交变换下的标准形为( )

admin2020-02-28  61
问题 设A为四阶实对称矩阵，且A2+2A一3E=O，若r(A—E)=1，则二次型xTAx在正交变换下的标准形为(    )
选项 A、y12+y22+y32一y42。
B、y12+y22+y32一3y42。
C、y12—y22—3y32一3y42。
D、y12+y22—3y32一3y42。
答案B
解析 由A2+2A一3E=0有(A—E)(A+3E)=O，从而
    r(A一E)+r(A+3E)≤4。
    又因为    r(A—E)+r(A+3E)=r(E—A)+r(A+3E)
    ≥r[(E—A)+(A+3E)]
    =r(4E)=4，
所以r(A—E)+r(A+3E)=4，则r(A+3E)=3。
    于是齐次线性方程组(A—E)x=0与(A+3E)x=0分别有三个和一个线性无关的解，即λ=1与λ=一3分别是矩阵A的三重和一重特征值。故选B。
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考研数学二

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