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设,正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵,若Q的第1列为,求a,Q.
设,正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵,若Q的第1列为,求a,Q.
admin
2021-01-19
26
问题
设
,正交矩阵Q使得Q
T
AQ为对角矩阵,若Q的第1列为
,求a,Q.
选项
答案
记[*].由 Aα
1
=λ
1
α
1
,即[*] 得a=-1,λ=2,因此[*] 由|λE-A|=[*] =(λ+4)(λ-2)(λ-5)=0. 得A的特征值为 λ
1
=2,λ
2
=-4,λ
3
=5,且对应于λ
1
=2的特征向量为 [*] 当λ
2
=-4时,(-4E-A)=[*] 由(-4E—A)x=0得对应于λ
2
=-4的特征向量为 α
2
=(-1,0,1)
T
. 当λ
3
=5时,(5E—A)=[*] 由(5E—A)x=0得对应于A。一5的特征向量为α
3
=(1,-1,1)
T
. 将α
1
,α
2
,α
3
单位化得:[*] 因A为实对称矩阵,α
1
,α
2
,α
3
为对应于不同特征值的特征向量,所以η
1
,η
2
,η
3
为单位正交向量组.令Q=(η
1
,η
2
,η
3
)=[*],则Q为正交矩阵,Q
T
AQ=[*]。
解析
本题考查实对称矩阵的正交对角化问题.由Q的列向量都是特征向量可得a的值以及对应的特征值,然后由A可求出其另外两个线性无关的特征向量,从而最终求出Q.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/m584777K
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考研数学二
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