设物体A从点(0，1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正方向运动，物体B从点(－1，0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，任意时刻B点的坐标(χ，y)，试建立物体B的运动轨迹(y作为χ的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件．

admin2019-08-12 56

问题设物体A从点(0，1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正方向运动，物体B从点(－1，0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，任意时刻B点的坐标(χ，y)，试建立物体B的运动轨迹(y作为χ的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件．

选项

答案规定A出发的时刻t＝0． (1)列方程．t时刻A位于(0，1＋vt)．t时刻B位于点(χ(t)，y(t))，B点的速度[*]＝(－χ，1＋vt－y)同向(见图6．4) [*] 又B点的速度大小为 [*] 进一步消去t，可得y作为χ的函数满足的微分方程．将①式两边对χ求导得 [*] 将它代入③得y＝y(χ)满足的微分方程为 [*] (2)初条件．y｜_χ＝－1，[*]＝1(χ＝－1时[*]的斜率为1)．

解析

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考研数学二

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考研数学二

设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj．(1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型

设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα1＝α2＋α3，Aα2＝α1＋α3，Aα3＝α1＋α2．(1)求矩阵A的特征值；(2)判断矩阵A可否对角化．

设a1，a2，…，an是一组n维向量，已知n维单位坐标向量e1，e2，…，en能由它们线性表示，证明α1,α2……αn线性无关．

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求由曲线x2=ay与y2=ax(a＞0)所围平面图形的质心(形心)(如图3．34).

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设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，且a＜1．确定a，使S1+S2达到最小，并求出最小值；

设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)＞0。已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕戈轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边梯形面积值的，πt倍，求该曲线方程。

设曲线f(x)=xn在点(1，1)处的切线与x轴的交点为(xn，0)，n=1，2，…，计算

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