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设二阶实对称矩阵A的一个特征值为λ1=1,属于λ1的特征向量为(1,一1)T,若|A|=一2,则A=______。
设二阶实对称矩阵A的一个特征值为λ1=1,属于λ1的特征向量为(1,一1)T,若|A|=一2,则A=______。
admin
2019-07-17
29
问题
设二阶实对称矩阵A的一个特征值为λ
1
=1,属于λ
1
的特征向量为(1,一1)
T
,若|A|=一2,则A=______。
选项
答案
[*]
解析
设矩阵A的特征值λ
1
=1和λ
2
对应的特征向量分别为α
1
=(1,一1)
T
和α
2
=(x
1
,x
2
)
T
。
实对称矩阵必可相似对角化,即存在可逆矩阵Q,使得Q
—1
AQ=
。而相似矩阵的行列式相等,所以一2=|A|=
=λ
2
,即λ
2
=一2。
又实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交,所以α
1
T
α
2
=0,即x
1
一x
2
=0。方程组x
1
一x
2
=0的基础解系为α
2
=(1,1)
T
。
令Q=(α
1
,α
2
)=
,则
[img][/img]
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考研数学二
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