设二阶实对称矩阵A的一个特征值为λ1=1,属于λ1的特征向量为(1,一1)T,若|A|=一2,则A=______。

admin2019-07-17  32

问题 设二阶实对称矩阵A的一个特征值为λ1=1,属于λ1的特征向量为(1,一1)T,若|A|=一2,则A=______。

选项

答案[*]

解析 设矩阵A的特征值λ1=1和λ2对应的特征向量分别为α1=(1,一1)T和α2=(x1,x2)T
实对称矩阵必可相似对角化,即存在可逆矩阵Q,使得Q—1AQ=。而相似矩阵的行列式相等,所以一2=|A|=2,即λ2=一2。
又实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交,所以α1Tα2=0,即x1一x2=0。方程组x1一x2=0的基础解系为α2=(1,1)T
令Q=(α1,α2)=,则
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