设f(x)在[0，1]上连续且满足f(0)=1，f’(x)-f(x)=a(x-1)．y=f(x)，x=0，x=1，y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．

admin2021-10-18 44

问题设f(x)在[0，1]上连续且满足f(0)=1，f’(x)-f(x)=a(x-1)．y=f(x)，x=0，x=1，y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．

选项

答案由f’(x)-f(x)=a(x-1)得f(x)=[a∫(x-1)e^∫-1dxdx+C]e^-∫-dx=Ce^x-ax，由f(0)=1得C=1，故f(x)=e^x-ax．V’(a)=π∫₀¹f²(x)dx=π[(e²-1)/2-2a+a²/3]，由V’(a)=π(-2+2a/3)=0得a=3，因为V"(a)=2π/3＞0，所以当a=3时，旋转体的体积最小，故f(x)=e^x-3x．

解析

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