下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是( )

admin2016-05-31 31

问题下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是( )

选项 A、A^-1正定．
B、A没有负的特征值．
C、A的正惯性指数等于n．
D、A合同于单位阵．

答案B

解析 A^-1正定表明存在可逆矩阵C，使C^TA^-1C=I_n，两边求逆得到C^-1A(C^T)^-1=C^-1A(C^-1)^T=I_n
即A合同于I_n，A正定，因此不应选A．
选项D是A正定的定义，也不是正确的选择．
选项C表明A的正惯性指数等于n，故A是正定阵．由排除法，故选B．
事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数．

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