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试用配方法化二次型 f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+x32+4x1x2—4x1x3—8x2x3 为标准形和规范形，写出相应的可逆线性变换矩阵，并求二次型的秩及正、负惯性指数。
试用配方法化二次型 f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+x32+4x1x2—4x1x3—8x2x3 为标准形和规范形，写出相应的可逆线性变换矩阵，并求二次型的秩及正、负惯性指数。
admin
2019-08-12
39
问题
试用配方法化二次型
f(x
1
，x
2
，x
3
)=2x
1
2
+3x
2
2
+x
3
2
+4x
1
x
2
—4x
1
x
3
—8x
2
x
3
为标准形和规范形，写出相应的可逆线性变换矩阵，并求二次型的秩及正、负惯性指数。
选项
答案
由于f中含有x
1
的平方项，故先把含x
1
的项进行配方，然后再把含x
2
的项进行配方，依次配方即可。即 f(x
1
，x
2
，x
3
)=2(x
1
2
+2x
1
x
2
—2x
1
x
3
)+3x
2
2
+x
3
2
—8x
2
x
3
=2(x
1
+x
2
—x
3
)
2
+x
2
2
—4x
2
x
3
—x
3
2
=2(x
1
+x
2
—x
3
)
2
+(x
2
—2x
3
)
2
—5x
3
2
。 令 [*] 则把二次型f化成了标准形 f(x
1
，x
2
，x
3
)=2y
1
2
+y
2
2
—5y
3
2
。 所用的可逆线性变换矩阵为C=[*]，可逆变换为x=Cy。 由以上结论可知，二次型f的规范形为f=z
1
2
+z
2
2
—z
3
2
，二次型的秩R(f)=3，正惯性指数为2， 负惯性指数为1。
解析
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