2. 考研
  3. 试用配方法化二次型 f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+x32+4x1x2—4x1x3—8x2x3 为标准形和规范形，写出相应的可逆线性变换矩阵，并求二次型的秩及正、负惯性指数。

试用配方法化二次型 f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+x32+4x1x2—4x1x3—8x2x3 为标准形和规范形，写出相应的可逆线性变换矩阵，并求二次型的秩及正、负惯性指数。

admin2019-08-12  43
问题 试用配方法化二次型
f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+x32+4x1x2—4x1x3—8x2x3
为标准形和规范形，写出相应的可逆线性变换矩阵，并求二次型的秩及正、负惯性指数。
选项
答案由于f中含有x1的平方项，故先把含x1的项进行配方，然后再把含x2的项进行配方，依次配方即可。即 f(x1，x2，x3)=2(x12+2x1x2—2x1x3)+3x22+x32—8x2x3 =2(x1+x2—x3)2+x22—4x2x3—x32 =2(x1+x2—x3)2+(x2—2x3)2—5x32。 令 [*] 则把二次型f化成了标准形 f(x1，x2，x3)=2y12+y22—5y32。 所用的可逆线性变换矩阵为C=[*]，可逆变换为x=Cy。 由以上结论可知，二次型f的规范形为f=z12+z22—z32，二次型的秩R(f)=3，正惯性指数为2， 负惯性指数为1。
解析
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考研数学二

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