2. 考研
  3. 设A是3阶实对称矩阵，已知A的每行元素之和为3，且有二重特征值λ1=λ2=1．求A的全部特征值、特征向量，并求An．

设A是3阶实对称矩阵，已知A的每行元素之和为3，且有二重特征值λ1=λ2=1．求A的全部特征值、特征向量，并求An．

admin2020-03-05  22
问题 设A是3阶实对称矩阵，已知A的每行元素之和为3，且有二重特征值λ1=λ2=1．求A的全部特征值、特征向量，并求An．
选项
答案方法一 A是3阶矩阵，每行元素之和为3，即有 [*] 故知A有特征值λ3=3，对应特征向量为ξ3=[1，1，1]T． 又A是实对称阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，故设λ1=λ2=1的特征向量为ξ=[x1，x2，x3]T，应有 ξ3Tξ=x1+x2+x3=0， 解得λ1=λ2=1的线性无关特征向量为 ξ1=[－1，1，0]T，ξ2=[－1，0，1]T． 取P=[ξ1，ξ2，ξ3]= [*] 故 A=PΛP－1，An=PΛP－1…PΛP－1=PΛnP－1． 其中P可如下求得： [*] 方法二 由方法一，得 Aξ3=λ3ξ3，其中λ3=3，ξ3= [*] 设λ1=λ2=1对应的特征向量为ξ=[x1，x2，x3]T，则应有 ξ3Tξ=x1+x2+x3=0． 取ξ1=[1，－1，0]T，再取ξ2与ξ1正交，设ξ2=[1，1，x]T，代入上式得ξ2=[1，1，－2]T，将ξ1，ξ2，ξ3单位化，并取正交阵 [*]
解析
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考研数学一

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