设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χAχ在正交变χ＝Qy下的标准形为y12＋y22，且Q的第三列为 (1)求A； (2)证明A＋E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

admin2019-02-26 55

问题设二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝χAχ在正交变χ＝Qy下的标准形为y₁²＋y₂²，且Q的第三列为

(1)求A；
(2)证明A＋E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

选项

答案(1)由题意知Q^TAQ＝∧，其中，∧＝[*]，则A＝Q∧Q^T，设Q的其他任一列向量为(χ₁，χ₂，χ₃)^T．因为Q为正交矩阵，所以[*] 变即χ₁＋χ₃＝0，其基础解系含2个线性无关的解向量，即为[*] 把α₁单位化β₁＝[*] [*] (2)证明：因为(A＋E)^T＝A^T＋E＝A＋E，所以A＋E为实对称矩阵．又因为A的特征值为1，1，0，所以A＋E特征值为2，2，1，都大于0，因此A＋E为正定矩阵．

解析

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考研数学一

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设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χAχ在正交变χ＝Qy下的标准形为y12＋y22，且Q的第三列为 (1)求A； (2)证明A＋E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

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