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设二次型f(χ1,χ2,χ3)=χAχ在正交变χ=Qy下的标准形为y12+y22,且Q的第三列为 (1)求A; (2)证明A+E为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.
设二次型f(χ1,χ2,χ3)=χAχ在正交变χ=Qy下的标准形为y12+y22,且Q的第三列为 (1)求A; (2)证明A+E为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.
admin
2019-02-26
43
问题
设二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=χAχ在正交变χ=Qy下的标准形为y
1
2
+y
2
2
,且Q的第三列为
(1)求A;
(2)证明A+E为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.
选项
答案
(1)由题意知Q
T
AQ=∧,其中,∧=[*],则A=Q∧Q
T
, 设Q的其他任一列向量为(χ
1
,χ
2
,χ
3
)
T
.因为Q为正交矩阵, 所以[*] 变即χ
1
+χ
3
=0,其基础解系含2个线性无关的解向量,即为[*] 把α
1
单位化β
1
=[*] [*] (2)证明:因为(A+E)
T
=A
T
+E=A+E,所以A+E为实对称矩阵. 又因为A的特征值为1,1,0,所以A+E特征值为2,2,1,都大于0,因此A+E为正定矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/nL04777K
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考研数学一
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