2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0．证明：存在一点ξ∈[a，b]，使 ∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx．

设f(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0．证明：存在一点ξ∈[a，b]，使 ∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx．

admin2018-09-20  36
问题 设f(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0．证明：存在一点ξ∈[a，b]，使
   ∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx．
选项
答案因f(x)在[a，b]上连续，故m≤f(x)≤M，其中m，M分别为f(x)的最小值、最大值． 因为g(x)＞0，所以mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)，故 m∫abg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤M∫abg(x)dx， [*] 从而存在ξ∈[a，b]，使得f(ξ)=[*]即∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx．
解析
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考研数学三

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