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设曲线L的极坐标方程为r=r(θ),M(r,θ)为L上任一点,M0(2,0)为L上一定点.若极径OM0,OM与曲线L所围成的曲边扇形的面积值等于L上M0,M两点间弧长值的一半,求曲线L的方程.
设曲线L的极坐标方程为r=r(θ),M(r,θ)为L上任一点,M0(2,0)为L上一定点.若极径OM0,OM与曲线L所围成的曲边扇形的面积值等于L上M0,M两点间弧长值的一半,求曲线L的方程.
admin
2016-10-26
45
问题
设曲线L的极坐标方程为r=r(θ),M(r,θ)为L上任一点,M
0
(2,0)为L上一定点.若极径OM
0
,OM与曲线L所围成的曲边扇形的面积值等于L上M
0
,M两点间弧长值的一半,求曲线L的方程.
选项
答案
曲边扇形的面积公式为S=[*]r
2
(θ)dθ,又弧微分ds=[*]dθ,于是由题设有 [*] (*) 两边对θ求导,即得r
2
(θ)=[*],所以r所满足的微分方程为 [*] (它与原方程等价,在(*)式中令θ=0等式自然成立,不必另加条件.) 注意到[*]=±θ+C为方程的通解,再由条件r(0)=2,可知c=-π/6,所以曲线L的方程为rsin([*]±θ)=1.
解析
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考研数学一
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