设一∞＜x＜+∞，y＞0．证明 xy≤ex-1+ylny，并指出何时等号成立．

admin2018-08-22 25

问题设一∞＜x＜+∞，y＞0．证明
xy≤e^x-1+ylny，
并指出何时等号成立．

选项

答案由于y＞0，令f(x)=xy—e^x-1-ylny，一∞＜x＜+∞，有 f(x)=y一e^x-1．令f’(x)=0，得唯一驻点x₀=1+lny．又 f"(x)=一e^x-1＜0，所以f(x₀)=y(1+lny)-y--ylny=0为f(x)的最大值，所以 xy—e^x-1一ylny≤0，当且仅当x=1+lny时等号成立．证毕．

解析

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考研数学二

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