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[2007年] 设函数y=y(x)由方程ylny-x+y=0确定,试判断曲线y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性.
[2007年] 设函数y=y(x)由方程ylny-x+y=0确定,试判断曲线y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性.
admin
2021-01-25
69
问题
[2007年] 设函数y=y(x)由方程ylny-x+y=0确定,试判断曲线y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性.
选项
答案
解一 在所给方程两边对x求导,得到y’lny+2y’-1=0,解得 y’-1/(lny+2). 再在上式两边对x求导,得到 [*] 将x=1,y=1代入上式,得到y"|
x=1,y=1
=-1/8. 由于二阶导数y"在x=1附近是连续函数,且由y"=-1/8<0知,在x=1附近有y"<0,故曲线y=f(x)在点(1,1)附近为凸性. 解二 由所给方程易解出x=y+ylny,则 [*] 由[*]得 [*] 下同解一略.
解析
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考研数学三
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