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  3. [2007年] 设函数y=y(x)由方程ylny－x+y=0确定，试判断曲线y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性．

[2007年] 设函数y=y(x)由方程ylny－x+y=0确定，试判断曲线y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性．

admin2021-01-25  57
问题 [2007年]  设函数y=y(x)由方程ylny－x+y=0确定，试判断曲线y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性．
选项
答案解一 在所给方程两边对x求导，得到y’lny+2y’－1=0，解得 y’－1／(lny+2)． 再在上式两边对x求导，得到 [*] 将x=1，y=1代入上式，得到y"｜x=1,y=1=－1／8． 由于二阶导数y"在x=1附近是连续函数，且由y"=－1／8＜0知，在x=1附近有y"＜0，故曲线y=f(x)在点(1，1)附近为凸性． 解二 由所给方程易解出x=y+ylny，则 [*] 由[*]得 [*] 下同解一略.
解析
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考研数学三

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