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  3. 已知矩阵 (Ⅰ)求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵； (Ⅱ)若A+kE正定，求k的取值．

已知矩阵 (Ⅰ)求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵； (Ⅱ)若A+kE正定，求k的取值．

admin2019-07-10  60
问题 已知矩阵

(Ⅰ)求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵；
(Ⅱ)若A+kE正定，求k的取值．
选项
答案(Ⅰ)因为AT=A，则(AP)T(AP)=PTATAP=PTA2P，又 [*] 构造二次型 xTA2X=x12+x22+5x32+20x42+20x3x4， 经配方，有 xTA2x=x12+x22+5(x3+2x4)2， [*] 则二次型化为标准形 xTA2x=y12+y22+5y32， 于是，二次型合同．故 [*] (Ⅱ)由｜λE—A｜=(λ2一1)(λ一5λ)，知矩阵A的特征值为：1，5，0，一1，进而可知A+kE的特征值为k+1，k+5，k，k一1．于是由A+kE正定可知，k＞1．
解析
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考研数学二

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