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已知矩阵 (Ⅰ)求可逆矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵; (Ⅱ)若A+kE正定,求k的取值.
已知矩阵 (Ⅰ)求可逆矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵; (Ⅱ)若A+kE正定,求k的取值.
admin
2019-07-10
67
问题
已知矩阵
(Ⅰ)求可逆矩阵P,使(AP)
T
(AP)为对角矩阵;
(Ⅱ)若A+kE正定,求k的取值.
选项
答案
(Ⅰ)因为A
T
=A,则(AP)
T
(AP)=P
T
A
T
AP=P
T
A
2
P,又 [*] 构造二次型 x
T
A
2
X=x
1
2
+x
2
2
+5x
3
2
+20x
4
2
+20x
3
x
4
, 经配方,有 x
T
A
2
x=x
1
2
+x
2
2
+5(x
3
+2x
4
)
2
, [*] 则二次型化为标准形 x
T
A
2
x=y
1
2
+y
2
2
+5y
3
2
, 于是,二次型合同.故 [*] (Ⅱ)由|λE—A|=(λ
2
一1)(λ一5λ),知矩阵A的特征值为:1,5,0,一1,进而可知A+kE的特征值为k+1,k+5,k,k一1.于是由A+kE正定可知,k>1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mbN4777K
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考研数学二
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