已知矩阵 (Ⅰ)求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵； (Ⅱ)若A+kE正定，求k的取值．

admin2019-07-10 45

问题已知矩阵

(Ⅰ)求可逆矩阵P，使(AP)^T(AP)为对角矩阵；
(Ⅱ)若A+kE正定，求k的取值．

选项

答案(Ⅰ)因为A^T=A，则(AP)^T(AP)=P^TA^TAP=P^TA²P，又 [*] 构造二次型 x^TA²X=x₁²+x₂²+5x₃²+20x₄²+20x₃x₄，经配方，有 x^TA²x=x₁²+x₂²+5(x₃+2x₄)²， [*] 则二次型化为标准形 x^TA²x=y₁²+y₂²+5y₃²，于是，二次型合同．故 [*] (Ⅱ)由｜λE—A｜=(λ²一1)(λ一5λ)，知矩阵A的特征值为：1，5，0，一1，进而可知A+kE的特征值为k+1，k+5，k，k一1．于是由A+kE正定可知，k＞1．

解析

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