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设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0,现有四个命题: ①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解; ②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解; ③(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解; ④(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。 以上命题中
设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0,现有四个命题: ①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解; ②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解; ③(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解; ④(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。 以上命题中
admin
2020-03-01
54
问题
设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(Ⅰ)A
n
x=0和(Ⅱ)A
n+1
x=0,现有四个命题:
①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解; ②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解;
③(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解; ④(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。
以上命题中正确的是( )
选项
A、①②。
B、①④。
C、③④。
D、②③。
答案
A
解析
若A
n
α=0,则A
n+1
α=A(A
n
α)=A0=0,即若α是(1)的解,则α必是(2)的解,可见命题①正确。如果A
n+1
α=0,而A
n
α≠0,那么对于向量组α,Aα,A
2
α,…,A
n
α,一方面有:若kα+k
1
Aα+k
2
A
2
α+…+k
n
A
n
α=0,用A
n
左乘上式的两边得kA
n
α=0。由A
n
α≠0可知必有k=0。类似地可得k
1
=k
2
=…=k
n
=0。因此,α,Aα,A
2
α,…,A
n
α线性无关。但另一方面,这是n+1个n维向量,它们必然线性相关,两者矛盾。故A
n+1
α=0时,必有A
n
α=0,即(2)的解必是(1)的解。因此命题②正确。所以应选A。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mfA4777K
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考研数学二
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