已知齐次线性方程组=有非零解，且矩阵A=是正定矩阵．求当XTX=2时，XTAX的最大值，其中X=(x1，x2，x3)T∈R3．

admin2018-08-03 38

问题已知齐次线性方程组=

有非零解，且矩阵A=

是正定矩阵．
求当X^TX=2时，X^TAX的最大值，其中X=(x₁，x₂，x₃)^T∈R³．

选项

答案可求得A的最大特征值为10，设对应的单位特征向量为ξ(即Aξ=10ξ，且ξ^Tξ=1)．对二次型X^TAX，存在正交变换X=PY，使X^TAX[*]λ₁y₁+λ₂y₂+λ₃y₃≤10(y₁²+y₂²+y₃²)，当X^TX=Y^TY=y₁²+y₂²+y₃²=2时，有X^TAX≤10×2=20，又X₀=[*]ξ满足X₀^TX₀=2，且X₀^TAX₀=[*]=2ξ^T(Aξ)=2ξ^T(10ξ)=20(ξ^Tξ)=20，综上可知[*]X^TAX=20．

解析

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