已知齐次线性方程组=有非零解,且矩阵A=是正定矩阵. 求当XTX=2时,XTAX的最大值,其中X=(x1,x2,x3)T∈R3.

admin2018-08-03  21

问题 已知齐次线性方程组=有非零解,且矩阵A=是正定矩阵.
求当XTX=2时,XTAX的最大值,其中X=(x1,x2,x3)T∈R3

选项

答案可求得A的最大特征值为10,设对应的单位特征向量为ξ(即Aξ=10ξ,且ξTξ=1).对二次型XTAX,存在正交变换X=PY,使XTAX[*]λ1y12y23y3≤10(y12+y22+y32),当XTX=YTY=y12+y22+y32=2时,有XTAX≤10×2=20,又X0=[*]ξ满足X0TX0=2,且X0TAX0=[*]=2ξT(Aξ)=2ξT(10ξ)=20(ξTξ)=20,综上可知[*]XTAX=20.

解析
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