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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=ln2,试证:存在点ξ∈(0,1),使得(1+ξ2)f’(ξ)arctanξ=一1.
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=ln2,试证:存在点ξ∈(0,1),使得(1+ξ2)f’(ξ)arctanξ=一1.
admin
2017-05-31
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问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
f(1)=ln2,试证:存在点ξ∈(0,1),使得(1+ξ
2
)f’(ξ)arctanξ=一1.
选项
答案
令F(x)=e
f(x)
arctanx. 由已知条件,[*]由积分中值定理,存在点[*]于是,F(x)在[η,1]上连续,在(η,1)内可导,由洛尔定理,存在点ξ∈(η,1)[*](0,1),使得F’(ξ)=0,即(1+ξ
2
)f’(ξ)arctanξ=一1.
解析
由
所以,可作辅助函数F(x)=e
f(x)
arctanx,用洛尔定理证明.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/miu4777K
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考研数学一
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