设A为n阶实对称矩阵，满足A2=层，并且r（A+E）=k＜n． ①求二次型xTAx的规范形． ②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求|B|．

admin2017-11-22 58

问题设A为n阶实对称矩阵，满足A²=层，并且r（A+E）=k＜n．
①求二次型x^TAx的规范形．
②证明B=E+A+A²+A³+A⁴是正定矩阵，并求|B|．

选项

答案①由于A²=E，A的特征值λ应满足λ²=1，即只能是1和—1．于是A+E的特征值只能是2和0．A+E也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵Λ，Λ的秩等于r(A+E)=k．于是A+E的特征值是2（后重）和0（n—k重），从而A的特征值是1（k重）和—1（n—k重）．A的正，负关系惯性指数分别为k和n—k，x^TAx的规范形为 y₁²+y₂²+…+y_k²一y_k+1²一…一y_n²， ②B是实对称矩阵，由A²=E，有B= 3E+2A，B的特征值为5（k重）和1（n—k重）都是正数．因此B是正定矩阵． ∴ |B|=5^k．1^n—k= 5^k．

解析

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考研数学三

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设A为n阶实对称矩阵，满足A2=层，并且r（A+E）=k＜n． ①求二次型xTAx的规范形． ②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求|B|．

考研数学三

设A=，且存在三阶非零矩阵B，使得AB=0，则a=，b=．

设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1，η2，则下列命题正确的是()．

设a1=1，当n≥1时，an+1=，证明：数列{an}收敛并求其极限．

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f"(x)＜0．证明：∫01f(x)dx≤．

设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为

已知α1=[1，2，一3，1]T，α2=[5，一5，a，11]T，α3=[1，一3，6，3]T，α4=[2，一1，3，a]T．问：a为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性无关；

盒子中有n个球，其编号分别为1，2，…，n，先从盒子中任取一个球，如果是1号球则放回盒子中去，否则就不放回盒子中；然后，再任取一个球，若第二次取到的是k(1≤k≤n)号球，求第一次取到1号球的概率．

求差分方程yt+1+3yt=3t+1(2t+1)的通解。

已知0＜P(B)＜1，且P[(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B)，则下列选项成立的是

执行器用以执行发动机ECU发出的各种控制命令，下列属于执行器的是_______。

骨盆骨折最危险的并发症是

下列有关针刺治疗落枕的说法哪一项是错误的

下列选项中脑脊液检查，显示蛋白质明显增多，葡萄糖明显减少的疾病是

马克思说：“作为劳动过程和价值形成过程的统一，生产过程是商品生产过程；作为劳动过程和价值增殖过程的统一，生产过程是资本主义生产过程，是商品生产的资本主义形式。”这说明()

在关系模型中，主键是指(43)。

A、StudentsworkingonadoctoralprogramwithaMaster’sdegreehavetenconsecutivesemesterstocompletetherequirements.B、

Thoughitisamereonetothreepercentofthepopulation,theupperclasspossessesatleast25percentofthenation’swealth

Therearethreekindsofgoals:short-term,medium-rangeandlong-termgoals.Short-rangegoalsarethosethatusuallydealwith

设A为n阶实对称矩阵，满足A2=层，并且r（A+E）=k＜n． ①求二次型xTAx的规范形． ②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求|B|．

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设A=，且存在三阶非零矩阵B，使得AB=0，则a=________，b=________．

设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1，η2，则下列命题正确的是()．

设a1=1，当n≥1时，an+1=，证明：数列{an}收敛并求其极限．

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f"(x)＜0．证明：∫01f(x)dx≤．

设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为

已知α1=[1，2，一3，1]T，α2=[5，一5，a，11]T，α3=[1，一3，6，3]T，α4=[2，一1，3，a]T．问：a为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性无关；

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求差分方程yt+1+3yt=3t+1(2t+1)的通解。

已知0＜P(B)＜1，且P[(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B)，则下列选项成立的是

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下列选项中脑脊液检查，显示蛋白质明显增多，葡萄糖明显减少的疾病是

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设A=，且存在三阶非零矩阵B，使得AB=0，则a=，b=．