设A为n阶实对称矩阵，满足A2=层，并且r（A+E）=k＜n． ①求二次型xTAx的规范形． ②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求|B|．

admin2017-11-22 66

问题设A为n阶实对称矩阵，满足A²=层，并且r（A+E）=k＜n．
①求二次型x^TAx的规范形．
②证明B=E+A+A²+A³+A⁴是正定矩阵，并求|B|．

选项

答案①由于A²=E，A的特征值λ应满足λ²=1，即只能是1和—1．于是A+E的特征值只能是2和0．A+E也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵Λ，Λ的秩等于r(A+E)=k．于是A+E的特征值是2（后重）和0（n—k重），从而A的特征值是1（k重）和—1（n—k重）．A的正，负关系惯性指数分别为k和n—k，x^TAx的规范形为 y₁²+y₂²+…+y_k²一y_k+1²一…一y_n²， ②B是实对称矩阵，由A²=E，有B= 3E+2A，B的特征值为5（k重）和1（n—k重）都是正数．因此B是正定矩阵． ∴ |B|=5^k．1^n—k= 5^k．

解析

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考研数学三

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设A为n阶实对称矩阵，满足A2=层，并且r（A+E）=k＜n． ①求二次型xTAx的规范形． ②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求|B|．

考研数学三

求函数f(x)=ln(1一x一2x2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域．

设y=y(x)满足y’=x+y，且满足y(0)=1，讨论级数的敛散性．

设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X～N(1，32)，Y～N(0，42)，且X，Y的相关系数为(1)求E(Z)，D(Z)；(2)求ρXY；(3)X，Z是否相互独立?为什么?

设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+by=ce有特解y=e2x+(1+x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．

设f(x)在[a，b]是二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得｜f(ξ)≥｜f(a)一f(b)｜．

假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为R(未知常数)．现在按还原抽样方式随意抽取的n件中发现k件不合格品．试求R的最大似然估计值．

设随机向量(X，y)的概率密度f(x，y)满足f(x，y)=f(一x，y)，且ρXY存在，则ρXY=()

当x→0时，f(x)=为x的三阶无穷小，则a，b分别为()

已知α1=[1，2，一3，1]T，α2=[5，一5，a，11]T，α3=[1，一3，6，3]T，α4=[2，一1，3，a]T．问：a为何值时，α4能由α1，α2，α3线性表出，并写出它的表出式．

企业使命

Sicknessdeprivedme______thechanceofseeingyou.

旅馆和公共建筑生活用水定额确定的依据是()

如果某项目生产经营期的第一年出现亏损，则该项目在此年可以免缴()。

(　　)是保险代理从业人员将代收保费的一部分交付所属机构，另一部分据为已有的行为。

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从幼儿在园一日活动的主要类型来分，幼儿园环境可分为游戏活动环境、学习活动环境和()。

下列关于生物遗传的叙述错误的是()。

Thedestructionofournaturalresourcesandcontaminationofourfoodsupplycontinuetooccur,largelybecauseoftheextreme

以下程序段运行结束后，变量x的值为()。x=2y=4dox=x*yy=y+1LoopWhiley

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设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+by=ce有特解y=e2x+(1+x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．

设f(x)在[a，b]是二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得｜f(ξ)≥｜f(a)一f(b)｜．

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以下程序段运行结束后，变量x的值为()。x=2y=4dox=x*yy=y+1LoopWhiley

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