2. 考研
  3. (2013年)设数列(an}满足条件：a0=3，a1=1，an-2一n(n一1)an=0(n≥2)。S(x)是幂级数的和函数。 (I)证明：S"(x)一S(x)=0； (Ⅱ)求S(x)的表达式。

(2013年)设数列(an}满足条件：a0=3，a1=1，an-2一n(n一1)an=0(n≥2)。S(x)是幂级数的和函数。 (I)证明：S"(x)一S(x)=0； (Ⅱ)求S(x)的表达式。

admin2018-03-11  63
问题 (2013年)设数列(an}满足条件：a0=3，a1=1，an-2一n(n一1)an=0(n≥2)。S(x)是幂级数的和函数。
    (I)证明：S"(x)一S(x)=0；
    (Ⅱ)求S(x)的表达式。
选项
答案(I)证明：对[*]逐项求导得 [*] 将S(x)的表达式改写为[*] 于是[*] (Ⅱ)注意S(0)=a0=3，S′(0)=a1=1，求和函数归结为求解初值问题 [*] 特征方程λ2一1=0，特征根λ=±1，于是方程的通解为S(x)=C1ex+C2e-x，再由初值得出C1=2， C2=1，因此S(x)=2ex+e-x。
解析
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考研数学一

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