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(2013年)设数列(an}满足条件:a0=3,a1=1,an-2一n(n一1)an=0(n≥2)。S(x)是幂级数的和函数。 (I)证明:S"(x)一S(x)=0; (Ⅱ)求S(x)的表达式。
(2013年)设数列(an}满足条件:a0=3,a1=1,an-2一n(n一1)an=0(n≥2)。S(x)是幂级数的和函数。 (I)证明:S"(x)一S(x)=0; (Ⅱ)求S(x)的表达式。
admin
2018-03-11
59
问题
(2013年)设数列(a
n
}满足条件:a
0
=3,a
1
=1,a
n-2
一n(n一1)a
n
=0(n≥2)。S(x)是幂级数
的和函数。
(I)证明:S"(x)一S(x)=0;
(Ⅱ)求S(x)的表达式。
选项
答案
(I)证明:对[*]逐项求导得 [*] 将S(x)的表达式改写为[*] 于是[*] (Ⅱ)注意S(0)=a
0
=3,S′(0)=a
1
=1,求和函数归结为求解初值问题 [*] 特征方程λ
2
一1=0,特征根λ=±1,于是方程的通解为S(x)=C
1
e
x
+C
2
e
-x
,再由初值得出C
1
=2, C
2
=1,因此S(x)=2e
x
+e
-x
。
解析
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考研数学一
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