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设A=E=ααT,其中α为n维非零列向量.证明: (1)A2=A的充分必要条件是α为单位向量; (2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵.
设A=E=ααT,其中α为n维非零列向量.证明: (1)A2=A的充分必要条件是α为单位向量; (2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵.
admin
2021-11-09
83
问题
设A=E=αα
T
,其中α为n维非零列向量.证明:
(1)A
2
=A的充分必要条件是α为单位向量;
(2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵.
选项
答案
(1)令α
T
α=k,则A
2
=(E-αα
T
)(E-αα
T
)=E-2αα
T
+kαα
T
,因为α为非零向量,所以αα
T
≠O,于是A
2
=A的充分必要条件是k=1,而α
T
α=|α|
2
,所以A
2
=A的充要条件是α为单位向量. (2)当α是单位向量时,由A
2
=A得r(A)+r(E-A)=n,因为E-A=αα
T
≠O,所以r(E-A)≥1,于是r(A)≤n-1<n,故A是不可逆矩阵.
解析
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考研数学二
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