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讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln4x的交点个数.
讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln4x的交点个数.
admin
2021-01-19
65
问题
讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln
4
x的交点个数.
选项
答案
设ψ(x)=ln
4
x-4lnx+4x-k,则有[*] 不难看出,x=1是ψ(x)的驻点. 当0<x<1时,ψ’(x)<0,即ψ(x)单调减少; 当x>1时,ψ’(x)>0,即ψ(x)单调增加, 故ψ(1)=4-k为函数ψ(x)的最小值. 当k<4,即4-k>0时,ψ(x)=0无实根,即两条曲线无交点; 当k=4,即4-k=0时,ψ(x)=0有唯一实根,即两条曲线只有一个交点; 当k>4,即4—k<0时,由于[*] 故ψ(x)=0有两个实根,分别位于(0,1)与(1,+∞)内,即两条曲线有两个交点.
解析
[分析] 问题等价于讨论方程ln
4
z-4lnx+4x-k=0有几个不同的实根,本题相当于一函数作图题,通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数(与x轴交点的个数).
[评注] 讨论曲线与坐标轴的交点,在构造辅助函数时,应尽量将待分析的参数分离开来,使得求导后不含参数,便于求驻点坐标.
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考研数学二
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