2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22－y32其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，－e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为( )

设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22－y32其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，－e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为( )

admin2021-01-25  58
问题 设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22－y32其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，－e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为(    )
选项 A、2y12－y22+y32．
B、2y12+y22－y32．
C、2y12－y22－y32．
D、2y12+y22+y32．
答案A
解析 设二次型的矩阵为A，则由题意知矩阵P的列向量e1，e2，e3是矩阵A的标准正交的特征向量．对应的特征值依次是2，1，－1．即有
Ae1=2e1，Ae2=2e2，Ae3=2e3
从而有
AQ=A(e1，－e3，e2)=(Ae1，－Ae3，Ae2)=(2e1，－(－e3)，e2)

矩阵Q的列向量e1，－e3，e2仍是A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，－1，1．矩阵Q是正交矩阵，有Q－1=QT，上式两端左乘Q－1，得
Q－1AQ=QTAQ

从而知f在正交变换x=Py下的标准形为f=2y12－y22+y32．于是选A．
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考研数学三

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