设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α，A(α1＋α2)线性无关的充分必要条件是( )

admin2019-05-12 60

问题设λ₁，λ₂是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α₁，α₂，则α，A(α₁＋α₂)线性无关的充分必要条件是( )

选项 A、λ₁≠0
B、λ₂≠0
C、λ₁＝0
D、λ₂＝0

答案B

解析令k₁α₁＋k₂A(α₁＋α₂)＝0，则
k₁α₁＋k₂λ₁α₁＋k₂λ₂α₂＝0，即(k₁＋k₂λ₁)α₁＋k₂λ₂α₂＝0．
因为α₁，α₂线性无关，于是有

当λ₂≠0时，显然有k₁＝0，k₂＝0，此时α₁，A(α₁＋α₂)线性无关；反过来，若α₁，A(α₁＋α₂)线性无关，则必然有λ₂≠0(否则，α₁与A(α₁＋α₂)＝λ₁α₁，线性相关)，故应选B．

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