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  3. 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α，A(α1＋α2)线性无关的充分必要条件是( )

设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α，A(α1＋α2)线性无关的充分必要条件是( )

admin2019-05-12  48
问题 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α，A(α1＋α2)线性无关的充分必要条件是(    )
选项 A、λ1≠0
B、λ2≠0
C、λ1＝0
D、λ2＝0
答案B
解析 令k1α1＋k2A(α1＋α2)＝0，则
    k1α1＋k2λ1α1＋k2λ2α2＝0，即(k1＋k2λ1)α1＋k2λ2α2＝0．
    因为α1，α2线性无关，于是有

    当λ2≠0时，显然有k1＝0，k2＝0，此时α1，A(α1＋α2)线性无关；反过来，若α1，A(α1＋α2)线性无关，则必然有λ2≠0(否则，α1与A(α1＋α2)＝λ1α1，线性相关)，故应选B．
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考研数学一

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