2. 考研
  3. 设总体X服从自由度为m的χ2分布，其概率密度是f(χ；m)．X1，X2，…，Xn是取自X的一个简单随机样本，其样本均值的概率密度记为g(y)． (Ⅰ)试将g(y)用X的概率密度表示出来； (Ⅱ)具体计算Y的期望与方差．

设总体X服从自由度为m的χ2分布，其概率密度是f(χ；m)．X1，X2，…，Xn是取自X的一个简单随机样本，其样本均值的概率密度记为g(y)． (Ⅰ)试将g(y)用X的概率密度表示出来； (Ⅱ)具体计算Y的期望与方差．

admin2018-06-12  52
问题 设总体X服从自由度为m的χ2分布，其概率密度是f(χ；m)．X1，X2，…，Xn是取自X的一个简单随机样本，其样本均值的概率密度记为g(y)．
    (Ⅰ)试将g(y)用X的概率密度表示出来；
    (Ⅱ)具体计算Y的期望与方差．
选项
答案(Ⅰ)根据简单随机样本的性质，X1，X2，…，Xn。相互独立且与总体X同分布，即Xi～X2(m)，i＝1，2，…，n．应用χ2分布可加性可知 Y＝[*]Xi～χ2(mn)， Y的概率密度为f(y，mn)． [*]是Y的函数[*]，由于[*]是y的单调函数且其导数为[*]≠0，应用单调函数的密度公式可直接得出[*]的概率密度应为g(y)＝nf(ny，mn)． (Ⅱ)设随机变量Y1，Y2，…，Ymn相互独立且都服从标准正态分布N(0，1)，则随机变量Y12，Y22，…，Ymn2也相互独立且都服从一个自由度的χ2分布．于是 Y＝Y12＋Y22＋…＋Ymn2～χ2(mn)． 由于Yi～N(0，1)，EYi＝0，EYi2＝DYi＝1， [*]
解析
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考研数学一

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