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设总体X服从自由度为m的χ2分布,其概率密度是f(χ;m).X1,X2,…,Xn是取自X的一个简单随机样本,其样本均值的概率密度记为g(y). (Ⅰ)试将g(y)用X的概率密度表示出来; (Ⅱ)具体计算Y的期望与方差.
设总体X服从自由度为m的χ2分布,其概率密度是f(χ;m).X1,X2,…,Xn是取自X的一个简单随机样本,其样本均值的概率密度记为g(y). (Ⅰ)试将g(y)用X的概率密度表示出来; (Ⅱ)具体计算Y的期望与方差.
admin
2018-06-12
57
问题
设总体X服从自由度为m的χ
2
分布,其概率密度是f(χ;m).X
1
,X
2
,…,X
n
是取自X的一个简单随机样本,其样本均值
的概率密度记为g(y).
(Ⅰ)试将g(y)用X的概率密度表示出来;
(Ⅱ)具体计算Y的期望与方差.
选项
答案
(Ⅰ)根据简单随机样本的性质,X
1
,X
2
,…,X
n
。相互独立且与总体X同分布,即X
i
~X
2
(m),i=1,2,…,n.应用χ
2
分布可加性可知 Y=[*]X
i
~χ
2
(mn), Y的概率密度为f(y,mn). [*]是Y的函数[*],由于[*]是y的单调函数且其导数为[*]≠0,应用单调函数的密度公式可直接得出[*]的概率密度应为g(y)=nf(ny,mn). (Ⅱ)设随机变量Y
1
,Y
2
,…,Y
mn
相互独立且都服从标准正态分布N(0,1),则随机变量Y
1
2
,Y
2
2
,…,Y
mn
2
也相互独立且都服从一个自由度的χ
2
分布.于是 Y=Y
1
2
+Y
2
2
+…+Y
mn
2
~χ
2
(mn). 由于Y
i
~N(0,1),EY
i
=0,EY
i
2
=DY
i
=1, [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7Gg4777K
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考研数学一
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