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设A为3阶实对称矩阵，其特征值为λ1=0，λ2=λ3=1，α1，α2是A的两个不同的特征向量，且A(α1+α2)=α2。 证明Aα1=0。
设A为3阶实对称矩阵，其特征值为λ1=0，λ2=λ3=1，α1，α2是A的两个不同的特征向量，且A(α1+α2)=α2。 证明Aα1=0。
admin
2021-04-02
7
问题
设A为3阶实对称矩阵，其特征值为λ
1
=0，λ
2
=λ
3
=1，α
1
，α
2
是A的两个不同的特征向量，且A(α
1
+α
2
)=α
2
。
证明Aα
1
=0。
选项
答案
①若α
1
，α
2
都是A的属于λ
1
=0的特征向量，则 A(α
1
+α
2
)=Aα
1
+Aα
2
=0≠α
2
， 矛盾； ②若α
1
，α
2
都是A的属于λ
1
=λ
2
=1的特征向量，则 A(α
1
+α
2
)=Aα
1
+Aα
2
=α
1
+α
2
≠α
2
， 矛盾，故α
1
，α
2
分别是A的属于不同特征值的特征向量； ③若α
1
是A的属于λ
2
=λ
3
=1的特征向量，α
2
是A的属于λ
1
0的特征向量，则 A(α
1
+α
2
)=Aα
1
+Aα
2
=α
1
+0=α
1
≠α
2
， 矛盾； ④若α
1
是A的属于λ
1
=0的特征向量，α
2
是A的属于λ
2
=λ
3
=1的特征向量，则 A(α
1
+α
1
)=Aα
1
+Aα
2
=0+α
2
=α
2
， 符合题意，故α
1
是A的属于λ
1
=0的特征向量，所以Aα
1
=0。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/nCq4777K
0
考研数学一
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