2. 考研
  3. (1)设α1，α3，β1，β2均为3维列向量，且α1，α3线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由α1，α3线性表示，又可由β1，β2线性表示； (2)当时，求所有的既可由α1，α2线性表示，又可由β1，β2线性表示的向量ξ．

(1)设α1，α3，β1，β2均为3维列向量，且α1，α3线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由α1，α3线性表示，又可由β1，β2线性表示； (2)当时，求所有的既可由α1，α2线性表示，又可由β1，β2线性表示的向量ξ．

admin2019-12-26  109
问题 (1)设α1，α3，β1，β2均为3维列向量，且α1，α3线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由α1，α3线性表示，又可由β1，β2线性表示；
(2)当时，求所有的既可由α1，α2线性表示，又可由β1，β2线性表示的向量ξ．
选项
答案(1)4个3维向量α1，α3，β1，β2必线性相关，故存在不全为0的数k1，k2，λ1，λ2，使得 k1α1+k2α3+λ1β1+λ2β2=0，即k1α1+k2α3=－λ1β1－λ2β2． 其中k1，k2不全为零(否则，由－λ1β1-λ2β2=0[*]λ1=λ2=0，这与k1，k2，λ1，λ2不全为0矛盾)． 令ξ=k1α1+k2α3=－λ1β1－λ2β2≠0．则ξ即为所求． (2)由(1)知，ξ=k1α1+k2α3=－λ1β1－λ2β2，得k1α1+k2α3+λ1β1+λ2β2=0，即 [*] 解方程组得方程组的通解为[*]其中k为任意常数．故所求的向量ξ=k1α1+k2α3=-λ1β1－λ2β2=[*]c为任意常数．
解析
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考研数学三

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