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(1)设α1，α3，β1，β2均为3维列向量，且α1，α3线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由α1，α3线性表示，又可由β1，β2线性表示； (2)当时，求所有的既可由α1，α2线性表示，又可由β1，β2线性表示的向量ξ．
(1)设α1，α3，β1，β2均为3维列向量，且α1，α3线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由α1，α3线性表示，又可由β1，β2线性表示； (2)当时，求所有的既可由α1，α2线性表示，又可由β1，β2线性表示的向量ξ．
admin
2019-12-26
91
问题
(1)设α
1
，α
3
，β
1
，β
2
均为3维列向量，且α
1
，α
3
线性无关，β
1
，β
2
线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由α
1
，α
3
线性表示，又可由β
1
，β
2
线性表示；
(2)当
时，求所有的既可由α
1
，α
2
线性表示，又可由β
1
，β
2
线性表示的向量ξ．
选项
答案
(1)4个3维向量α
1
，α
3
，β
1
，β
2
必线性相关，故存在不全为0的数k
1
，k
2
，λ
1
，λ
2
，使得 k
1
α
1
+k
2
α
3
+λ
1
β
1
+λ
2
β
2
=0，即k
1
α
1
+k
2
α
3
=－λ
1
β
1
－λ
2
β
2
． 其中k
1
，k
2
不全为零(否则，由－λ
1
β
1
-λ
2
β
2
=0[*]λ
1
=λ
2
=0，这与k
1
，k
2
，λ
1
，λ
2
不全为0矛盾)． 令ξ=k
1
α
1
+k
2
α
3
=－λ
1
β
1
－λ
2
β
2
≠0．则ξ即为所求． (2)由(1)知，ξ=k
1
α
1
+k
2
α
3
=－λ
1
β
1
－λ
2
β
2
，得k
1
α
1
+k
2
α
3
+λ
1
β
1
+λ
2
β
2
=0，即 [*] 解方程组得方程组的通解为[*]其中k为任意常数．故所求的向量ξ=k
1
α
1
+k
2
α
3
=-λ
1
β
1
－λ
2
β
2
=[*]c为任意常数．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/nGD4777K
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考研数学三
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