(1)设α1，α3，β1，β2均为3维列向量，且α1，α3线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由α1，α3线性表示，又可由β1，β2线性表示； (2)当时，求所有的既可由α1，α2线性表示，又可由β1，β2线性表示的向量ξ．

admin2019-12-26 61

问题 (1)设α₁，α₃，β₁，β₂均为3维列向量，且α₁，α₃线性无关，β₁，β₂线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由α₁，α₃线性表示，又可由β₁，β₂线性表示；
(2)当

时，求所有的既可由α₁，α₂线性表示，又可由β₁，β₂线性表示的向量ξ．

选项

答案(1)4个3维向量α₁，α₃，β₁，β₂必线性相关，故存在不全为0的数k₁，k₂，λ₁，λ₂，使得 k₁α₁+k₂α₃+λ₁β₁+λ₂β₂=0，即k₁α₁+k₂α₃=－λ₁β₁－λ₂β₂．其中k₁，k₂不全为零(否则，由－λ₁β₁-λ₂β₂=0[*]λ₁=λ₂=0，这与k₁，k₂，λ₁，λ₂不全为0矛盾)．令ξ=k₁α₁+k₂α₃=－λ₁β₁－λ₂β₂≠0．则ξ即为所求． (2)由(1)知，ξ=k₁α₁+k₂α₃=－λ₁β₁－λ₂β₂，得k₁α₁+k₂α₃+λ₁β₁+λ₂β₂=0，即 [*] 解方程组得方程组的通解为[*]其中k为任意常数．故所求的向量ξ=k₁α₁+k₂α₃=-λ₁β₁－λ₂β₂=[*]c为任意常数．

解析

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考研数学三

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考研数学三

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