设A是n阶非零实矩阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,如果AT=A*,证明任一n维列向量均可由矩阵A的列向量线性表出.

admin2019-01-05  33

问题 设A是n阶非零实矩阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,如果AT=A*,证明任一n维列向量均可由矩阵A的列向量线性表出.

选项

答案因为A*=AT,按定义有Aij=aij([*]i,j=1,2,…,n),其中Aij是行列式|A|中aij的代数余子式. 由于A≠0,不妨设a1≠0,那么 |A|=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a112+a122+…+a1n2≠0. 于是A=(α1,α2,…,αn)的n个列向量线性无关.那么对任一n维列向量β,恒有α1,α2,…,αn,β线性相关.因此β必可由α1,α2,…,αn线性表出。

解析
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