设三阶方阵A与B相似，且|2E+A|=0。已知λ1=l，λ2=一1是方阵B的两个特征值，则|A+2AB|=_________。

admin2019-01-19 109

问题设三阶方阵A与B相似，且|2E+A|=0。已知λ¹=l，λ²=一1是方阵B的两个特征值，则|A+2AB|=_________。

选项

答案18

解析由|2E+A|=0，可得|一2E一A|=0，即λ=一2是A的一个特征值。
因A与B相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知，λ₁=1，λ₂=一1也是A的特征值，所以A，B的特征值均为λ₁=1，λ₂=一1，λ₃=一2，则E+2B的三个特征值分别为3，一1，一3。从而可得|A|=λ₁λ₂λ₃=2，|E+2B|=3×(一1)×(一3)=9，故
|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|·|E+2B|=18。

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考研数学三

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