设A=E-2ξξT,其中ξ=(x1,x2,…,xn)t且有ξTξ=1.则 (1)A是对称阵; (2)A2是单位阵; (3)A是正交阵; (4)A是可逆阵. 上述结论中,正确的个数是( )

admin2016-05-31  33

问题 设A=E-2ξξT,其中ξ=(x1,x2,…,xn)t且有ξTξ=1.则
(1)A是对称阵;    (2)A2是单位阵;
(3)A是正交阵;    (4)A是可逆阵.
上述结论中,正确的个数是(    )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析 AT=(E-2ξξT)T=ET-(2ξξT)T=E-2ξξT=A,(1)成立.
A2=(E-2ξξT)(E-2ξξT)=E-4ξξT+4ξξTξξT=E-4ξξT+4ξ(ξTξ)ξT=E,(2)成立.
    由(1)、(2),得A2=AAT=E,故A是正交阵,(3)成立.
    由(3)知正交阵是可逆阵,且A-1=AT,(4)成立.
    故应选D.
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