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已知齐次线性方程组(Ⅰ)为齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ1=[-1,1,2,4]T,ξ2=[1,0,1,1]T. 求方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的全部非零公共解,并将非零公共解分别由方程组(Ⅰ),(Ⅱ)的基础解系线性表示.
已知齐次线性方程组(Ⅰ)为齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ1=[-1,1,2,4]T,ξ2=[1,0,1,1]T. 求方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的全部非零公共解,并将非零公共解分别由方程组(Ⅰ),(Ⅱ)的基础解系线性表示.
admin
2021-07-27
66
问题
已知齐次线性方程组(Ⅰ)为
齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ
1
=[-1,1,2,4]
T
,ξ
2
=[1,0,1,1]
T
.
求方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的全部非零公共解,并将非零公共解分别由方程组(Ⅰ),(Ⅱ)的基础解系线性表示.
选项
答案
解得方程组(Ⅰ)的基础解系η
1
,η
2
,于是,方程组(Ⅰ)的通解为k
1
η
1
+k
2
η
2
=k,[2,-1,1,0]
T
+k
2
[-1,1,0,1]
T
(k
1
,k
2
为任意常数).由题设知,方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ
1
,ξ
2
,其通解为l
1
ξ
1
+l
2
ξ
2
=l
1
[-1,1,2,4]
T
+l
2
[1,0,1,1]
T
(l
1
,l
2
为任意常数).为求方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解,令它们的通解相等,即k
1
[2,-1,1,0]
T
+k
2
[-1,1,0,1]
T
=l
1
[-1,1,2,4]
T
+l
2
[1,0,1,1]
T
.从而,得到关于k
1
,k
2
,l
1
,l
2
的方程组[*]对此方程组的系数矩阵作初等行变换,得[*]由此可得,k
1
=k
2
=l
2
,l
1
=0.所以,令k
1
=k
2
=k,方程组(Ⅰ),(Ⅱ)的非零公共解是k[2,-1,1,0]
T
+k[-1,1,0,1]
T
=k[1,0,1,1]
T
(k为任意非零常数).并且,方程组(Ⅰ),(Ⅱ)的非零公共解分别由方程组(Ⅰ),(Ⅱ)的基础解系线性表示为k(η
1
+η
2
)和kξ
2
,其中k为任意非零常数.
解析
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考研数学二
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