首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
A是n阶矩阵,数a≠b.证明下面3个断言互相等价: (1)(A一aE)(A一bE)=0. (2)r(A一aE)+r(A一bE)=n. (3)A相似于对角矩阵,并且特征值满足(λ一a)(λ一b)=0.
A是n阶矩阵,数a≠b.证明下面3个断言互相等价: (1)(A一aE)(A一bE)=0. (2)r(A一aE)+r(A一bE)=n. (3)A相似于对角矩阵,并且特征值满足(λ一a)(λ一b)=0.
admin
2020-03-10
29
问题
A是n阶矩阵,数a≠b.证明下面3个断言互相等价:
(1)(A一aE)(A一bE)=0.
(2)r(A一aE)+r(A一bE)=n.
(3)A相似于对角矩阵,并且特征值满足(λ一a)(λ一b)=0.
选项
答案
不妨设a和b都是A的特征值.(因为如果a不是A的特征值,则3个断言都推出A=bE.如果b不是A的特征值,则3个断言都推出A=aE.) (1)[*](2) 用关于矩阵的秩的性质,由(A一aE)(A一bE)=0.得到: r(A一aE)+r(A一bE)≤n, r(A一aE)+r(A一bE)≥r((A一aE)一(A一bE))=r((b一a)E)=n, 从而r(A一aE)+r(A一bE)=n. (2)[*](3) 记k
a
,k
b
分别是a,b的重数,则有 k
a
≥n—r(A一aE) ① k
b
≥n—r(A一bE) ③ 两式相加得n≥k
a
+k
b
≥n一r(A一aE)+n一r(A一bE)=n,于是其中“≥”都为“=”,从而①和②都是等式,并且k
a
+k
b
=n. k
a
+k
b
=n,说明A的特征值只有a和b,它们都满足(λ一a)(λ一b)=0. ①和②都是等式,说明A相似于对角矩阵. (3)[*](1) A的特征值满足(λ一a)(λ一b)=0,说明A的特征值只有a和b.设B是和A相似的对角矩阵,则它的对角线上的元素都是a或b,于是(B一aE)(B一bE)=0.而(A一aE)(A一bE)相似于(B一aE)(B一bE),因此(A一aE)(A-bE)=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/nND4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设则A,B的关系为().
设y=f(x)是微分方程y"一2y’+4y=一esinx的一个解,若f(x0)>0,f’(x0)=0,则函数f(x)在点x0().
设f(x)连续,则在下列变上限积分中,必为偶函数的是()
当x→0时,下列四个无穷小量中,哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量?
在全概率公式P(B)=P(Ai)P(B|Ai)中,除了要求条件B是任意随机事件及P(Ai)>0(i=1,2,…,n)之外,还可以将其他条件改为()
曲线段(如图所示)的方程为y=f(x),函数f(x)在区间[0,a]上有连续的导数,则定积分等于()
设随机变量U服从二项分布B(2,),随机变量求随机变量X一Y与X+Y的方差和X与Y的协方差。
设区域D={(x,y)|x2+y2≤1,x≥0},计算二重积分I=。
设位于曲线y=(e≤x<+∞)下方,x轴上方的无界区域为G,则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为___________。
设随机变量序列X1,X2,…,Xn,…相互独立,则根据辛钦大数定律,Xi依概率收敛于其数学期望,只要{Xn:n≥1}()
随机试题
样品展览和示范表演包括哪两类?
试述一般进出口货物的报关程序。
A.5天拆线B.6天拆线C.10天拆线D.7天拆线E.提前拆线剖宫产术后腹部切口应
A.半夏配桑白皮B.半夏配藿香C.半夏配黄连D.半夏配猪苓E.半夏配干姜患者,男,37岁。目眩耳聋,胸满胁痛,口苦,呕吐苦水,易怒,烦躁不寐,惊悸不宁,苔黄腻,脉弦滑。宜选
关于施工总承包管理方责任的说法,正确的是()。
下列有关普通合伙企业合伙事务执行的表述中,符合《合伙企业法》规定的是()。
有关抽样方案类型的选取正确的是()。
科学家发现,生活在大的群体之中的鸟类,比生活在孤独之中的鸟类大脑中有着更多的新的神经元,也有着更强的记忆力。他们据此向人类发出忠告:如果你是一个孤独者,你最好结交一些朋友,否则就会丧失你宝贵的脑细胞,导致记忆力低下。下列哪项如果为真,最能反驳上述
A、Acab.B、AnAirportShuttleService.C、AGreyhoundbus.D、Asubway.C细节题。根据Ithinkforthatkindofdistanceacabwouldbewa
A、Sheisill.B、Sheistooold.C、Herhusbandwantsherto.D、Herhusbandisill.AWhywouldJoe’smothergiveupherjob?
最新回复
(
0
)