(06年)设4维向量组α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T,问a为何值时,α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,

admin2017-05-26  26

问题 (06年)设4维向量组α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T,问a为何值时,α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.

选项

答案记A=(α1,α2,α3,α4),则 [*] 于是当a=0或a=-10时,α1,α2,α3,α4线性相关. 当a=0时,α1≠0,且α2,α3,α4均可由α1线性表出,故α1为α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组,且α2=2α1,α3=3α1,α4=4α1. 当a=-10时,对A施以初等行变换,有 [*] 由于β2,β3,β4为β1,β2,β3,β4的一个极大线性无关组,且β1=-β2-β3-β4,故α2,α3,α4为α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组,且α1=-α2-α3-α4

解析
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