设α1,α2,…,αn为n个线性无关的n维列向量,β1,β2,…,βn为任意n个n维列向量。证明α1,α2,…,αn可由β1,β2,…,βn线性表示的充要条件是β1,β2,…,βn线性无关。

admin2018-12-19  32

问题 设α1,α2,…,αn为n个线性无关的n维列向量,β1,β2,…,βn为任意n个n维列向量。证明α1,α2,…,αn可由β1,β2,…,βn线性表示的充要条件是β1,β2,…,βn线性无关。

选项

答案必要性 因为α1,α2,…,αn线性无关,且α1,α2,…,αn可由β1,β2,…,βn线性表示,所以 n≤r(α1,α2,…,αn)≤r(β1,β2,…,βn)≤n, 即r(β1,β2,…,βn)=n,则β1,β2,…,βn线性无关。 充分性 因为β1,β2,…,βn是线性无关的n维向量组,所以β1,β2,…,βn可以表示n维向量空间中所有的向量,故α1,α2,…,αn可由β1,β2,…,βn线性表示。

解析
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