(2013年)求曲线χ3－χy＋y3＝1(χ≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．

admin2016-05-30 48

问题 (2013年)求曲线χ³－χy＋y³＝1(χ≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．

选项

答案设(χ，y)为曲线上的点，目标函数为f(χ，y)＝χ²＋y²，构造拉格朗日函数 L(χ，y，λ)＝χ²＋y²＋λ(χ³－χy＋y³－1)． [*] 当χ＞0，y＞0时，由①，②得[*]，即3χy(y－χ)＝(χ＋y)(χ－y)，得y＝χ，或3χy＝－(χ＋y)(由于χ＞0，y＞0，舍去)．将y＝χ代入③得2χ³－χ²－1＝0，即(2χ²＋χ＋1)(χ－1)＝0，所以(1，1)为唯一可能的极值点，此时[*]；当χ＝0，y＝1或χ＝1，y＝0时，[*]＝1．故所求最长距离为[*]，最短距离为1．

解析

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