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  3. (2013年)求曲线χ3－χy＋y3＝1(χ≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．

(2013年)求曲线χ3－χy＋y3＝1(χ≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．

admin2016-05-30  73
问题 (2013年)求曲线χ3－χy＋y3＝1(χ≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．
选项
答案设(χ，y)为曲线上的点，目标函数为f(χ，y)＝χ2＋y2，构造拉格朗日函数 L(χ，y，λ)＝χ2＋y2＋λ(χ3－χy＋y3－1)． [*] 当χ＞0，y＞0时，由①，②得[*]，即3χy(y－χ)＝(χ＋y)(χ－y)，得y＝χ，或3χy＝－(χ＋y)(由于χ＞0，y＞0，舍去)． 将y＝χ代入③得2χ3－χ2－1＝0，即(2χ2＋χ＋1)(χ－1)＝0， 所以(1，1)为唯一可能的极值点，此时[*]； 当χ＝0，y＝1或χ＝1，y＝0时，[*]＝1． 故所求最长距离为[*]，最短距离为1．
解析
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考研数学二

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