2. 考研
  3. (10年)设函数f(χ)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且 2f(0)＝∫02f(χ)dχ＝f(2)＋f(3)． (Ⅰ)证明存在η∈(0，2)，使f(η)＝f(0)； (Ⅱ)证明存在ξ∈(0，3)，使f〞(ξ)＝0．

(10年)设函数f(χ)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且 2f(0)＝∫02f(χ)dχ＝f(2)＋f(3)． (Ⅰ)证明存在η∈(0，2)，使f(η)＝f(0)； (Ⅱ)证明存在ξ∈(0，3)，使f〞(ξ)＝0．

admin2021-01-25  24
问题 (10年)设函数f(χ)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且
    2f(0)＝∫02f(χ)dχ＝f(2)＋f(3)．
    (Ⅰ)证明存在η∈(0，2)，使f(η)＝f(0)；
    (Ⅱ)证明存在ξ∈(0，3)，使f〞(ξ)＝0．
选项
答案(Ⅰ)设F(χ)＝∫0χf(t)dt (0≤χ≤2)，则 ∫02f(χ)dχ＝F(2)－F(0)． 根据拉格朗日中值定理，存在η∈(0，2)，使 F(2)－F(0)＝2F′(η)＝2f(η)， 即∫02f(χ)dχ＝2f(η)． 由题设知∫02f(χ)dχ＝2f(0)，故f(η)＝f(0)． (Ⅱ)[*]介于f(χ)在[2，3]上的最小值与最大值之间，根据连续函数的介值定理，存在ζ∈[2，3]，使f(ζ)＝[*]． 由题设知[*]＝f(0)，故f(ζ)＝f(0)． 由于f(0)＝f(η)＝f(ζ)，且0＜η＜ζ≤3，根据罗尔定理，存在ξ1∈(0，η)，ξ2∈(η，ζ)，使f′(ξ1)＝0，f′(ξ2)＝0，从而存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](0，3)，使得 f〞(ξ)＝0．
解析
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考研数学三

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