设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{X，2}的分布函数（）

admin2019-04-09 53

问题设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{X，2}的分布函数（）

选项 A、是连续函数
B、至少有两个间断点
C、是阶梯函数
D、恰好有一个间断点

答案D

解析考虑分布函数的连续性问题，需求出其分布函数。因为X服从指数分布，则其概率密度为

其中λ＞0为参数。
由分布函数的定义
F_Y（y）=P{Y≤y}=P{min（X，2）≤y}，
当y＜0时，F_Y（y）=0；
当y≥2时，F_Y（y）=1；
当0≤y＜2时，
F_Y（y）=P{min{X，2}≤y}=P{X≤y}=∫₀^yλe^—λxxdx=1—e^—λy，
故

因为

F_Y（y）=1—e^—2λ≠F_Y（2）=1，所以y=2是F_Y（y）的唯一间断点，故选D。

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