设A是3阶矩阵,满足 Aα1=一α1,Aα2=α1+2α2,Aα3=α1+3α2+α3, 其中α1=[0,1,1]T,α2=[1,0,1]T,α3=[1,1,0]T. 证明A相似于对角矩阵A,求A,并求可逆矩阵P,使得P-1AP=A.

admin2018-08-22  65

问题 设A是3阶矩阵,满足
        Aα1=一α1,Aα21+2α2,Aα31+3α23
其中α1=[0,1,1]T,α2=[1,0,1]T,α3=[1,1,0]T
证明A相似于对角矩阵A,求A,并求可逆矩阵P,使得P-1AP=A.

选项

答案由题设条件,合并得 A[α1,α2,α3]=[一α1,α1+2α2,α1+3α23] [*] 其中[*]Q可逆,[*] 则有AQ=QB,Q-1AQ=B,即A~B,所以A和B有相同的特征值. [*] 故A,B有特征值λ1=一1,λ2=2,λ3=1,λ1,λ2,λ3互不相同.故[*] 当λ1=一1时,(λ1E-B)X=0, [*] 当λ2—2时,(λ2E-B)X=0, [*] 当λ3=1时,(λ3E-B)X=0, [*] 故有[*]使得[*]则 [*]

解析
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