设α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.证明α1+α2,α2+α3,α3+α1也是该方程组的一个基础解系.

admin2016-01-11  43

问题 设α123是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.证明α12,α23,α31也是该方程组的一个基础解系.

选项

答案由于α123是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系. 故α12,α23,α31都是方程组Ax=0的解. 设k1,k2,k3使k112)+k223)+k331)=0,即 (k1+k21+(k1+k22+(k2+k33=0. 由于α123线性无关,所以[*]其系数行列式[*]故方程组有唯一解k1=k2=k3=0,从而α12,α23,α31线性无关. 由题设知Ax=0的基础解系含有3个解向量,故α12,α23,α31也是该方程组的一个基础解系.

解析 本题考查齐次线性方程组基础解系的概念和向量组线性相关性的证明方法.
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