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设α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系．证明α1+α2，α2+α3，α3+α1也是该方程组的一个基础解系．
设α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系．证明α1+α2，α2+α3，α3+α1也是该方程组的一个基础解系．
admin
2016-01-11
41
问题
设α
1
,α
2
,α
3
是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系．证明α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
1
也是该方程组的一个基础解系．
选项
答案
由于α
1
,α
2
,α
3
是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系． 故α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
1
都是方程组Ax=0的解． 设k
1
，k
2
，k
3
使k
1
(α
1
+α
2
)+k
2
(α
2
+α
3
)+k
3
(α
3
+α
1
)=0，即 (k
1
+k
2
)α
1
+(k
1
+k
2
)α
2
+(k
2
+k
3
)α
3
=0． 由于α
1
,α
2
,α
3
线性无关，所以[*]其系数行列式[*]故方程组有唯一解k
1
=k
2
=k
3
=0，从而α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
1
线性无关． 由题设知Ax=0的基础解系含有3个解向量，故α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
1
也是该方程组的一个基础解系．
解析
本题考查齐次线性方程组基础解系的概念和向量组线性相关性的证明方法．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zq34777K
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考研数学二
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